高数证明题证明：若级数Σun条件收敛，
我一般不写书上的定理，今天给你写一次，原理不难，
以后要找好一点的数学分析的书看。
1。
将{u(n),1≤n}的非负项依次排成{a(n),1≤n},
将{u(n),1≤n}的负项依次排成{b(n),1≤n}。
由于级数∑{1≤n}u(n)条件收敛。
则Lim{n→∞}a(n)=Lim{n→∞}b(n)=0
∑{1≤n}a(n)=+∞,∑{1≤n}b(n)=-∞。
下面只做a≥0和a=+∞的情况就可以了。
记：U(m)=∑{1≤n≤m}a(n),V(m)=∑{1≤n≤m}b(n)。
用递推的方法重新将{u(n)1≤n}排列成{v(n)1≤n},
记T(m)=∑{1≤n≤m}v(n)...全部
我一般不写书上的定理，今天给你写一次，原理不难，
以后要找好一点的数学分析的书看。
1。
将{u(n),1≤n}的非负项依次排成{a(n),1≤n},
将{u(n),1≤n}的负项依次排成{b(n),1≤n}。
由于级数∑{1≤n}u(n)条件收敛。
则Lim{n→∞}a(n)=Lim{n→∞}b(n)=0
∑{1≤n}a(n)=+∞,∑{1≤n}b(n)=-∞。
下面只做a≥0和a=+∞的情况就可以了。
记：U(m)=∑{1≤n≤m}a(n),V(m)=∑{1≤n≤m}b(n)。
用递推的方法重新将{u(n)1≤n}排列成{v(n)1≤n},
记T(m)=∑{1≤n≤m}v(n)。
2。
a≥0，
ⅰ。
第一次从{a(n),1≤n}中取前M(1)>0项，
使 U(M(1))>a≥U(M(1)-1)
==>
00项，
使 U(M(1))+V(N(1)-1)≥a>U(M(1))+V(N(1))
==>
00项，
并设为相应的v(k)，使
T(M(1)+。
。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s))>a≥
≥T(M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s)-1)
==>
|T(k)-a|≤max{a(M(s+1)),-b(N(s)},其中
M(1)+。
。。+M(s)+N(1)+。。。+N(s)+1≤k≤
≤M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s)
第2s+2次从{b(n),1≤n}中取剩下的前N(s+1)>0项，
并设为相应的v(k)，使
T(M(1)+。
。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s)-1)≥a>
>T(M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s+1))
==>
|T(k)-a|≤max{a(M(s+1)),-b(N(s+1)},其中
M(1)+。
。。+M(s)+N(1)+。。。+N(s)+1≤k≤
≤M(1)+。。。+M(s+1)+N(1)+。。。+N(s)
ⅳ。
由于M(s)，N(s)≥s,而
Lim{s→∞}max{a(M(s)),-b(N(s-1)}=
=Lim{s→∞}max{a(M(s)),-b(N(s)}=0
==>
Lim{t→∞}|T(k)-a|=0,所以重排后的级数收敛于a。
3。
a=+∞,取M(s))使
U(M(s))>-2V(s)，将b(s)排在a(M(s))和a(M(s)+1)之间，
则重排后的级数收敛于+∞。
。收起
