无穷级数问题I
判断级数∑(？
1。 ∑ 1/(n+1)(n-1)=(1/2)∑[1/(n-1)-1/(n+1)]
=(1/2)[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+。。。+1/(n-1)-1/(n+1)+。。。]=(1/2)(3/2)=3/4。
2。 当 n≥2 时，1/lnn>1/n，∑ 1/n 发散，则 ∑ 1/lnn 发散。
3。 ρ=lim u/u=lim(n+1)^2*3^n/[3^(n+1)*n^2]=1/3 n^2/3^n 收敛。
4。 ρ=lim u/u=lim3^(n+1)*n*2^n/[(n+1)2^(n+1)*3^n]=3/2>1,
则 ∑ 3^n/n2^n 发散。
5。 交错级数...全部
1。 ∑ 1/(n+1)(n-1)=(1/2)∑[1/(n-1)-1/(n+1)]
=(1/2)[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+。。。+1/(n-1)-1/(n+1)+。。。]=(1/2)(3/2)=3/4。
2。 当 n≥2 时，1/lnn>1/n，∑ 1/n 发散，则 ∑ 1/lnn 发散。
3。 ρ=lim u/u=lim(n+1)^2*3^n/[3^(n+1)*n^2]=1/3 n^2/3^n 收敛。
4。 ρ=lim u/u=lim3^(n+1)*n*2^n/[(n+1)2^(n+1)*3^n]=3/2>1,
则 ∑ 3^n/n2^n 发散。
5。 交错级数 ∑(-1)^n*(3^n)/n^n 即 ∑(-1)^n*(3/n)^n 收敛,
∑(3/n)^n 收敛，则原交错级数绝对收敛。
6。 R=lim|a/a|=lim(n+1)^2/n^2=1。 x=±1时，级数收敛，则
∑[(-1)^(n-1)/(n^2)](x^n)的收敛域为 x∈[-1,1]。
7。 R=lim|a/a|=lim(n+1)/n=1。
x=1时，级数收敛，x=-1时，
级数发散，则 ∑(-1)^n(x^n)/n的收敛域为 x∈(-1,1]。
8。 f(x)=1/[(x-1)(x-2)]=1/(1-x)-1/(2-x)=1/(1-x)-(1/2)*1/(1-x/2)
=∑ x^n-(1/2)∑(x/2)^n=∑[1-(1/2)^(n+1)]x^n,
收敛域 x∈(-1,1)。
9。 y"-7y'+12y=x, 特征根 r=3, 4。 设特解 y*=ax+b，代入方程，得 a=1/12, b=7/144。
则微分方程的通解是 y=Ae^(3x)+Be^(4x)+x/12+7/144。
其中A，B为任意常数。收起
