函数项级数的收敛性∑[（-1)^
我们对前m项求和:
S_m = ∑_(n=1)^m [（-1)^(n-1)x^2/(1+x^2)^n]
=x^2/(1+x^2) ∑_(n=1)^m [（-1)^(n-1)/(1+x^2)^(n-1)]
= x^2/(1+x^2) [ 1- (-1/(1+x^2))^m]/[1+1/(1+x^2)]
->x^2/(1+x^2) 1/[1+1/(1+x^2)]
=x^2/(2+x^2), 当m趣于无穷。
即级数∑[（-1)^(n-1)][x^2]/[(1+x^2)^n] 对x∈R 收敛。
用ε-N语言:
|S_m - x^2/(2+x^2) | = x^2/(1+x^2) * 1/(1+...全部
我们对前m项求和:
S_m = ∑_(n=1)^m [（-1)^(n-1)x^2/(1+x^2)^n]
=x^2/(1+x^2) ∑_(n=1)^m [（-1)^(n-1)/(1+x^2)^(n-1)]
= x^2/(1+x^2) [ 1- (-1/(1+x^2))^m]/[1+1/(1+x^2)]
->x^2/(1+x^2) 1/[1+1/(1+x^2)]
=x^2/(2+x^2), 当m趣于无穷。
即级数∑[（-1)^(n-1)][x^2]/[(1+x^2)^n] 对x∈R 收敛。
用ε-N语言:
|S_m - x^2/(2+x^2) | = x^2/(1+x^2) * 1/(1+x^2)^m / [1+1/(1+x^2)]
= x^2/(2+x^2) * 1/(1+x^2)^m。
假如 x=0, 则 S_m - x^2/(2+x^2) | = 0,收敛。
假如 x!=0,
则 |S_m - x^2/(2+x^2)| N, |S_m - x^2/(2+x^2)| < 1/(1+x^2)^m < ε。
故级数对x∈R 收敛。收起
