设边长为a,b,c的三线段构成锐角三角形,证明:存在一个对棱相等且分别为a,b,c的四面体。并计算其体积。
设边长为a,b,c的三线段构成锐角三角形,证明:存在一个对棱相等且分别为a,b,c的四面体。并计算其体积。
证明 作长方体ABCD-A'B'C'D',使得A'D=a,A'B=b,BD=c,则四面体C'-A'BD即为对棱相等且分别为a,b,c的四面体(这种四面体称为“等面四面体”)。
记AB=x,AD=y,AA'=z,则
y^2+z^2=a^2, (1)
z^2+x^2=b^2, (2)
x^2+y^2=c^2, (3)
由(1),(2),(3)显然可得
b^2+c^2>a^2,c^2+a^2>b^2,a^2+b^2>c^2,
所以,长为a,b,c的三线段构成锐角三角形。 ...全部
设边长为a,b,c的三线段构成锐角三角形,证明:存在一个对棱相等且分别为a,b,c的四面体。并计算其体积。
证明 作长方体ABCD-A'B'C'D',使得A'D=a,A'B=b,BD=c,则四面体C'-A'BD即为对棱相等且分别为a,b,c的四面体(这种四面体称为“等面四面体”)。
记AB=x,AD=y,AA'=z,则
y^2+z^2=a^2, (1)
z^2+x^2=b^2, (2)
x^2+y^2=c^2, (3)
由(1),(2),(3)显然可得
b^2+c^2>a^2,c^2+a^2>b^2,a^2+b^2>c^2,
所以,长为a,b,c的三线段构成锐角三角形。
因此,等面四面体C'-A'BD的四个面是边长为a,b,c的锐角三角形。
下面给出等面四面体C'-A'BD的的体积公式。
由(1),(2),(3)解得
x=(1/√2)*√(b^2+c^2-a^2),
y=(1/√2)*√(c^2+a^2-b^2),
z=(1/√2)*√(a^2+b^2-c^2),
所以,等面四面体C'-A'BD的的体积为
V=xyz-(4/6)xyz=(1/3)xyz
=(√2/12))*√[(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)],
即
V=(√2/12))*√[(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)]。收起