求函数h(x,y,z)的最大值与
设x,y,z为实数，√3-1≥x,y,z≥-1，且满足:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0。求函数
h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9)
的最大值与最小值。
解 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9)
=√[8(x+1)^2+1]+√[8(y+1)^2+1]+√[8(z+1)^2+1]
令(x+1)^2=a,(y+1)^2=b,(z+1)^2=c。
∵√3-1≥x,y,z≥-1,∴3≥a,b,c≥0
再由题设条件:x^2+y^2+z^2+2(x+y...全部
设x,y,z为实数，√3-1≥x,y,z≥-1，且满足:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0。求函数
h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9)
的最大值与最小值。
解 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9)
=√[8(x+1)^2+1]+√[8(y+1)^2+1]+√[8(z+1)^2+1]
令(x+1)^2=a,(y+1)^2=b,(z+1)^2=c。
∵√3-1≥x,y,z≥-1,∴3≥a,b,c≥0
再由题设条件:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0
∴a+b+c=3
那么转化为:a,b,c为非负实数,且a+b+c=3,求函数
h(a,b,c)=√[8a+1]+√[8b+1]+√[8c+1]
的最大值与最小值。
由A-G不等式得:
[h(a,b,c)]^2≤3[8a+1+8b+1+8c+1]=3[8(a+b+c)+3]=81。
∴f(a,b,c)≤9。
故h(x,y,z)的最大值为9。
由柯西不等式得:
3[h(a,b,c)]^2=[√(25a+b+c)+√(25b+c+a)+√(25c+a+b)]^2
=27(a+b+c)+2√[(25b+c+a)(25c+a+b)]
+2√[(25c+a+b)(25a+b+c)]+2√[(25a+b+c)(25b+c+a)]
≥27*6+2[(5b+5c+a)+(5c+5a+b)+(5a+5b+c)]
=27*6+22*6=49*6
∴[h(a,b,c)]^2≥49,f(a,b,c)≥7。
故h(x,y,z)的最小值为7。
。收起
