数学极坐标的上下限如何确定的,请详细分析,谢谢
设积分区域D在第一象限的部分为D1，再化为两部分
D11={(x,y)|0＜x+y≤1}；D12={(x,y)|1＜x+y≤2}
由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，得
原积分=4(∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ)
令x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ)，即
D11={(r,θ)|0＜r(cosθ+sinθ)≤1}；
D12={(r,θ)|1＜r(cosθ+sinθ)≤2}，故
∫∫f(x,y)dσ
=∫dθ∫(rcosθ)²rdr
=∫cos²θdθ∫r³dr
=(1/4)∫cos²θ(r^4|)dθ
=...全部
设积分区域D在第一象限的部分为D1，再化为两部分
D11={(x,y)|0＜x+y≤1}；D12={(x,y)|1＜x+y≤2}
由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，得
原积分=4(∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ)
令x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ)，即
D11={(r,θ)|0＜r(cosθ+sinθ)≤1}；
D12={(r,θ)|1＜r(cosθ+sinθ)≤2}，故
∫∫f(x,y)dσ
=∫dθ∫(rcosθ)²rdr
=∫cos²θdθ∫r³dr
=(1/4)∫cos²θ(r^4|)dθ
=(1/4)∫cos²θdθ/(cosθ+sinθ)^4
(分子分母同除以(cosθ)^4)
=(1/4)∫sec²θdθ/(1+tanθ)^4
=(1/4)∫dtanθ/(1+tanθ)^4
=(1/4)(-1/3)[1/(1+tanθ)³]|
=1/12(明显不如用直角坐标计算简单)
∫∫f(x,y)dσ
=∫dθ∫rdr/r
=∫dθ/(cosθ+sinθ)
=(1/√2)∫dθ/sin(θ+π/4)
=(1/√2)∫csc(θ+π/4)dθ
=(1/√2)ln|csc(θ+π/4)-cot(θ+π/4)||
=(1/√2)ln|[csc(3π/4)-cot(3π/4)]/[csc(π/4)-cot(π/4)]|
=(1/√2)ln|(√2+1)/(√2-1)|
=(1/√2)ln|(√2+1)²/(√2-1)(√2+1)|
=√2ln(√2+1)。
收起
