极坐标方程极坐标方程
1．极坐标系
考查要点：
(1)会用极坐标确定点的位置；
(2)一个极坐标对应唯一的点，但是一个点的极坐标可以有无数种表示形式，如P(ρ, θ)又可以表示成
(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)，其中k∈Z。
例1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是( )。
A、关于极轴所在直线对称
B、关于极点对称
C、重合
D、关于直线θ=(ρ∈R)对称
分析：点(-ρ,π-θ)与点(ρ,-θ)是同一个点，它与点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称，答案选A。
例2．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A(2, ), B(2,...全部
1．极坐标系
考查要点：
(1)会用极坐标确定点的位置；
(2)一个极坐标对应唯一的点，但是一个点的极坐标可以有无数种表示形式，如P(ρ, θ)又可以表示成
(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)，其中k∈Z。
例1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是( )。
A、关于极轴所在直线对称
B、关于极点对称
C、重合
D、关于直线θ=(ρ∈R)对称
分析：点(-ρ,π-θ)与点(ρ,-θ)是同一个点，它与点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称，答案选A。
例2．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A(2, ), B(2, )，那么顶点C的坐标可能是( )。
A、(4, π) B、(2, π) C、(2, π) D、(3, π)
分析：由题设可知A、B两点交于极点O对称，即O是AB的中点。
又|AB|=4，ΔABC为正三角形，
∴|OC|=2，∠AOC=，
∴C对应的极角θ=+=π
或θ=-=-，即C点极坐标为(2, π)或(2, -)
∴选B。
2．极坐标与直角坐标互化
考查要点：
(1)会进行点的极坐标与直角坐标的互化；
(2)能正确地将极坐标方程化为直角坐标方程。
例3．已知P(-3，)，
(1)若极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴正向相同，则P点的极坐标是_________。
(2)若极坐标系的极点在直角坐标系的O'(-3+,2)，极轴的方向与x轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则P点的极坐标是__________。
分析：(1)ρ==2，tgθ=-,
∵P点在第二象限，∴θ=π, ∴P点极坐标为(2，π)。
(2)如图，tga==1, ∴a=,
∴θ=∠x'O'P=π+=π,
ρ=|O'P|==,
∴在极坐标系O'x'中，P点的极坐标是(,π)。
例4．极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是( )
A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆
方法1：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得：
ρ2=ρcos(-θ)=ρ(cosθ+sinθ)=(ρcosθ+ρsinθ)
这样，在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，
ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ2=x2+y2, 因此有：
x2+y2=(x+y),
∴ 方程ρ=cos(-θ)表示圆。
方法2：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而-θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(-θ)表示圆。
答案：选D。
例5．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( )
A、2 B、 C、1 D、
分析：本题有两种解法。
第一种解法直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是
(，0)和(，)，这两点间的距离是。第二种解法是将方程化为直角坐标方程，因为ρ不恒为0，可以用ρ分别乘方程两边，得：
ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ，极坐标方程化直角坐标方程为：
x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是(，0)，(0，)，圆心距是。
∴ 选D。
3．根据所给条件，建立曲线的极坐标方程，并利用方程研究曲线的某些性质。
例6．在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3，)，半径为1。Q点在圆周上运动，O为极点。
(I)求圆C的极坐标方程
(II)若P在直线OQ上运动，且满足OQ∶QP=2∶3，求动点P的轨迹方程。
解：(I)设M(ρ, θ)为圆C上任意一点，如图，
在ΔOCM中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，
∠COM=|θ-|，根据余弦定理，得：
1=ρ2+9-2·ρ·3·cos|θ-|, 化简整理，得：
ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0为圆C的轨迹方程。
(II)设Q(ρ1, θ1)，则有：ρ12-6ρ1cos(θ1-)+8=0。。。。。。。。。(1)
设P(ρ, θ)，
则OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)=2∶3 ρ1=ρ,
又θ1=θ，即
代入(1)得：ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0,
整理得ρ2-15ρcos(θ-)+50=0为P点的轨迹方程。
习题：
1．点A的直角坐标为(0，-2)，则它的极坐标为__________；点B的极坐标为(-2, -)，则它的直角坐标是________。
2．求下列各图形的极坐标方程：
(1)过A(2，)平行于极轴的直线
(2)过A(3，)且和极轴成π的直线
(3)圆心在M(2，π)，半径为1 的圆
3．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
(1)y2=4x (2)y2+x2-2x-1=0 (3)θ=
(4)ρcos2=1 (5)ρ2cos(2θ)=4 (6)ρ=。
答案：
1．(2，-)(其它等价形式均可)，(-1，)
2．(1)ρsinθ=
(2)ρ(sinθ+cosθ)=+
(3)ρ2+4ρcosθ+3=0
3．(1)ρsin2θ=4cosθ (2)ρ2-2ρcosθ-1=0 (3)y=x (x≥0)
(4)y2=-4(x-1) (5)x2-y2=4 (6)3x2+4y2-2x-1=0
。收起
