在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1垂直于平面A1BD,D为AC的中点

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1垂直于平面A1BD,D为AC的中点

证明：1。连接AB1，与A1B交于点E，易知点E是AB1的中点，从而DE是ΔACB1的中位线，从而DE‖CB1，又因为直线DE是平面A1BD内的一条直线。所以CB1‖平面A1BD证完。2。因为AC1⊥面A1BD所以，AC1⊥A1D从而，∠A1DA ∠CAC1=90°再由∠AC1C ∠CAC1=90°便得∠A1DA=∠AC1C从而ΔA1AD∽ΔACC1从而A1A/AD=AC/CC1即A1A•CC1=AD•AC因为CC1=AA1，AD=AC/2所以有A1A²= AC²/2 即，AC²=2A1A² 从而，AD²=（AC/2）²= AC²/4= A1A²/2从而A1D²= A1A² AD²= ...全部

  证明：1。连接AB1，与A1B交于点E，易知点E是AB1的中点，从而DE是ΔACB1的中位线，从而DE‖CB1，又因为直线DE是平面A1BD内的一条直线。所以CB1‖平面A1BD证完。2。因为AC1⊥面A1BD所以，AC1⊥A1D从而，∠A1DA ∠CAC1=90°再由∠AC1C ∠CAC1=90°便得∠A1DA=∠AC1C从而ΔA1AD∽ΔACC1从而A1A/AD=AC/CC1即A1A•CC1=AD•AC因为CC1=AA1，AD=AC/2所以有A1A²= AC²/2 即，AC²=2A1A² 从而，AD²=（AC/2）²= AC²/4= A1A²/2从而A1D²= A1A² AD²= A1A² A1A²/2=3A1A²/2 ①又因为A1A⊥面ABC，所以A1A⊥BD因为AC1⊥面A1BD，所以AC1⊥BD所以，BD⊥面A1AC1，又因为A1D⊂面A1AC1，所以，BD⊥A1D所以，BD²=A1B²-A1D²因为AB=BB1=A1A所以A1B²=AB² A1A²=2 A1A² ②综合①，②便有BD²=2 A1A²-3A1A²/2=A1A²/2=AD²从而BD=AD所以，∠ABC=90°（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理）从而∠A1B1C1=90°即B1C1⊥A1B1又因为BB1⊥B1C1所以，B1C1⊥面ABB1A1 证完。
  让人难以相信的是，我是先比较顺利地做出了第2部分，然后思考了很长时间才做出了第1部分。收起