在直三棱柱ABC
证明： 1。连接AB1，与A1B交于点E，易知点E是AB1的中点， 从而DE是ΔACB1的中位线， 从而DE‖CB1， 又因为直线DE是平面A1BD内的一条直线。 所以CB1‖平面A1BD 证完。 2。因为AC1⊥面A1BD 所以，AC1⊥A1D 从而，∠A1DA ∠CAC1=90° 再由∠AC1C ∠CAC1=90° 便得∠A1DA=∠AC1C 从而ΔA1AD∽ΔACC1 从而A1A/AD=AC/CC1 即A1A•CC1=AD•AC 因为CC1=AA1，AD=AC/2 所以有 A1A²= AC²/2 即，AC²=2A1A² 从而，AD²=（AC/2）²= AC²/4= A1A...全部
证明： 1。连接AB1，与A1B交于点E，易知点E是AB1的中点， 从而DE是ΔACB1的中位线， 从而DE‖CB1， 又因为直线DE是平面A1BD内的一条直线。 所以CB1‖平面A1BD 证完。
2。因为AC1⊥面A1BD 所以，AC1⊥A1D 从而，∠A1DA ∠CAC1=90° 再由∠AC1C ∠CAC1=90° 便得∠A1DA=∠AC1C 从而ΔA1AD∽ΔACC1 从而A1A/AD=AC/CC1 即A1A•CC1=AD•AC 因为CC1=AA1，AD=AC/2 所以有 A1A²= AC²/2 即，AC²=2A1A² 从而，AD²=（AC/2）²= AC²/4= A1A²/2 从而A1D²= A1A² AD²= A1A² A1A²/2=3A1A²/2 ① 又因为A1A⊥面ABC， 所以A1A⊥BD 因为AC1⊥面A1BD， 所以AC1⊥BD 所以，BD⊥面A1AC1， 又因为A1D⊂面A1AC1， 所以，BD⊥A1D 所以，BD²=A1B²-A1D² 因为AB=BB1=A1A 所以A1B²=AB² A1A²=2 A1A² ② 综合①，②便有 BD²=2 A1A²-3A1A²/2=A1A²/2=AD² 从而BD=AD 所以，∠ABC=90°（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理） 从而∠A1B1C1=90° 即B1C1⊥A1B1 又因为BB1⊥B1C1 所以，B1C1⊥面ABB1A1证完。
让人难以相信的是，我是先比较顺利地做出了第2部分，然后思考了很长时间才做出了第1部分。收起
