高三数学函数大题

函数序列难题

=∑{1≤k≤n}(1/2^k)ln[2^(n-k)/(2^(n-k+1)-1)]。 bn=e^(an)=∏{1≤k≤n}[2^(n-k)/(2^(n-k+1)-1)]^(1/2^k)。 易得: Lim{n→∞}an=ln(1/2) ==> Lim{n→∞}bn=1/2。 2。显然f1(x)连续且递增。 3。设f1(x)>0,当x>0。 设M=sup{f1(x),x∈[0,1]} 对于任意1>ε>0, 设m(ε)=inf{f1(x),x∈[ε,1]} 用归纳法得: m(ε)^(1/2^n)bn(x-ε)^(1-1/2^n)≤f(n+1)(x)≤ ≤M^(1/2^n)bnx^(1-1/...全部

   =∑{1≤k≤n}(1/2^k)ln[2^(n-k)/(2^(n-k+1)-1)]。 bn=e^(an)=∏{1≤k≤n}[2^(n-k)/(2^(n-k+1)-1)]^(1/2^k)。 易得: Lim{n→∞}an=ln(1/2) ==> Lim{n→∞}bn=1/2。
   2。显然f1(x)连续且递增。 3。设f1(x)>0,当x>0。 设M=sup{f1(x),x∈[0,1]} 对于任意1>ε>0, 设m(ε)=inf{f1(x),x∈[ε,1]} 用归纳法得: m(ε)^(1/2^n)bn(x-ε)^(1-1/2^n)≤f(n+1)(x)≤ ≤M^(1/2^n)bnx^(1-1/2^n)。
   ==> 上极限Lim{n→∞}f(n+1)(x)≤x/2 下极限Lim{n→∞}f(n+1)(x)≥(x-ε)/2 由于任意1>ε>0==> 上极限Lim{n→∞}f(n+1)(x)= =下极限Lim{n→∞}f(n+1)(x)=x/2 所以Lim{n→∞}f(n+1)(x)=x/2。
   4。若1>δ>0,使 f1(x)>0,当x>δ, f1(x)=0,当x≤δ。 由3。得 Lim{n→∞}fn(x)=(x-δ)/2,当x>δ, Lim{n→∞}fn(x)=0,当x≤δ。 。
  收起