三角形已知一个三角形的周长不超过2π，假设a,b,c是它的三条边，现在另取出长度分别为sina,sinb,sinc的三条线段，证明这三条线段也能构成三角形。
不妨设0＜a≤b≤c
a+b+c≤2π，c≤a+b ==> 2c≤a+b+c≤2π ==> 0＜a≤b≤c≤π
==> 0＜a/2≤b/2≤c/2≤π/2，sina＞0，sinb＞0，sinc＞0
0≤b-a＜c ==> 0≤(b-a)/2＜c/2≤π/2 ==> cos[(b-a)/2]＞cos(c/2)≥0 ①
(1)如果0＜c/2＜(b+a)/2≤π/2，有sin[(b+a)/2]＞sin(c/2)＞0
(2)如果0＜c/2≤π/2＜(b+a)/2，由a+b+c≤2π有0＜(b+a)/2-π/2≤π/2-c/2＜π/2
故 cos[(b+a)/2-π/2]≥cos[π/2-c/2] ...全部
不妨设0＜a≤b≤c
a+b+c≤2π，c≤a+b ==> 2c≤a+b+c≤2π ==> 0＜a≤b≤c≤π
==> 0＜a/2≤b/2≤c/2≤π/2，sina＞0，sinb＞0，sinc＞0
0≤b-a＜c ==> 0≤(b-a)/2＜c/2≤π/2 ==> cos[(b-a)/2]＞cos(c/2)≥0 ①
(1)如果0＜c/2＜(b+a)/2≤π/2，有sin[(b+a)/2]＞sin(c/2)＞0
(2)如果0＜c/2≤π/2＜(b+a)/2，由a+b+c≤2π有0＜(b+a)/2-π/2≤π/2-c/2＜π/2
故 cos[(b+a)/2-π/2]≥cos[π/2-c/2] ，即sin[(b+a)/2]≥sin(c/2)＞0
由(1)(2)知恒有sin[(b+a)/2]≥sin(c/2)＞0 ②
所以由①②有sina+sinb＝2sin[(b+a)/2]cos[(b-a)/2]＞2sin(c/2)cos(c/2)＝sinc
同理可证得sina+sinc＞sinb，sinc+sinb＞sina
所以sina、sinb、sinc也能构成三角形。
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