证明不等式a,b,c,d是满足a
题目:设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，求证:
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3
本题虽然贵为IMO备选题,但因为其极弱,所以证明的回旋余地极大,下面给出另外五个证明。
另证一 由柯西不等式得
[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]*[a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)]
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2,
所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)...全部
题目:设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，求证:
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3
本题虽然贵为IMO备选题,但因为其极弱,所以证明的回旋余地极大,下面给出另外五个证明。
另证一 由柯西不等式得
[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]*[a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)]
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2,
所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]
=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)]
=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(a^2+d^2)+(b^2+c^2)+(b^2+d^2)+(c^2+d^2)]
=(1/3)(a^2+b^2+c^2+d^2)
=(1/6)[(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+d^2)+(d^2+a^2)]
=(1/6)(2ab+2bc+2cd+2da)
=1/3。
另证二 由柯西不等式得
[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)][a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)]
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2,
所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]
=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-( a^2+b^2+c^2+d^2)] (1)
由幂平均不等式: a^2+b^2+c^2+d^2>=(1/4)(a+b+c+d)^2,得
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)]
>=(1/16)(a+b+c+d)^4/[(a+b+c+d)^2-(1/4)(a+b+c+d)^2]
=(1/12)(a+b+c+d)^2
=(1/12)[(a+c)+(b+d)]^2
>=(1/12){2[(a+c)(b+d)]^(1/2)}^2
=(1/3)(a+c)(b+d)
=(1/3)(ab+bc+cd+da)
=1/3。
(2)
由(1),(2)得
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3
另证三 由柯西不等式得
[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)][a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)]
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2,
所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)
>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]
=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-( a^2+b^2+c^2+d^2)] (3)
由幂平均不等式: a^2+b^2+c^2+d^2>=(1/4)(a+b+c+d)^2,得
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)]
=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[4(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a^2+b^2+c^2+d^2)]
=(1/3)(a^2+b^2+c^2+d^2)
>=(1/3)(ab+bc+cd+da)
=1/3。
(4)
由(3),(4)得
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3
另证四 （利用权方和不等式）由权方和不等式和均值不等式得
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)
>=(1/4)(a+b+c+d)^3/[3(a+b+c+d)]
=(1/12)[(a+c)+(b+d)]^2
>=(1/12){2[(a+c)(b+d)]^(1/2)}^2
=(1/3)(a+c)(b+d)
=(1/3)(ab+bc+cd+da)
=1/3。
另证五 （局部不等式方法）由均值不等式得
3a*(b+c+d)^3=3a*(b+c+d)*(b+c+d)*(b+c+d)=(256/27)^(1/3)*a^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3),
同理可得 b^3/(c+d+a)>= (256/27)^(1/3)*b^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3),
c^3/(d+a+b)>=(256/27)^(1/3)*c^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3),
d^3/(a+b+c)>=(256/27)^(1/3)*d^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3),
于是由幂平均不等式得
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)
>=(256/27)^(1/3)*(a^(10/3)+b^(10/3)+c^(10/3)+d^(10/3))/(a+b+c+d)^(4/3)
>=(256/27)^(1/3)*4[(a+b+c+d)/4]^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3)
=(1/12)*(a+b+c+d)^2
=(1/12)[(a+c)+(b+d)]^2
>=(1/12){2[(a+c)(b+d)]^(1/2)}^2
=(1/3)(a+c)(b+d)
=(1/3)(ab+bc+cd+da)
=1/3。
。收起
