不等式证明

证明不等式a,b,c,d是满足a

题目:设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，求证: a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 本题虽然贵为IMO备选题,但因为其极弱,所以证明的回旋余地极大,下面给出另外五个证明。 另证一 由柯西不等式得 [a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]*[a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)] >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2, 所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)...全部

  题目:设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，求证: a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 本题虽然贵为IMO备选题,但因为其极弱,所以证明的回旋余地极大,下面给出另外五个证明。
   另证一 由柯西不等式得 [a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)]*[a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)] >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2, 所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)] =(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)] =(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(a^2+d^2)+(b^2+c^2)+(b^2+d^2)+(c^2+d^2)] =(1/3)(a^2+b^2+c^2+d^2) =(1/6)[(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+d^2)+(d^2+a^2)] =(1/6)(2ab+2bc+2cd+2da) =1/3。
   另证二 由柯西不等式得 [a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)][a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)] >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2, 所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)] =(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-( a^2+b^2+c^2+d^2)] (1) 由幂平均不等式: a^2+b^2+c^2+d^2>=(1/4)(a+b+c+d)^2,得 (a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)] >=(1/16)(a+b+c+d)^4/[(a+b+c+d)^2-(1/4)(a+b+c+d)^2] =(1/12)(a+b+c+d)^2 =(1/12)[(a+c)+(b+d)]^2 >=(1/12){2[(a+c)(b+d)]^(1/2)}^2 =(1/3)(a+c)(b+d) =(1/3)(ab+bc+cd+da) =1/3。
   (2) 由(1),(2)得 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 另证三 由柯西不等式得 [a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)][a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)] >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2, 所以 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(d+a+b)+d(a+b+c)] =(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-( a^2+b^2+c^2+d^2)] (3) 由幂平均不等式: a^2+b^2+c^2+d^2>=(1/4)(a+b+c+d)^2,得 (a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)] =(a^2+b^2+c^2+d^2)^2/[4(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a^2+b^2+c^2+d^2)] =(1/3)(a^2+b^2+c^2+d^2) >=(1/3)(ab+bc+cd+da) =1/3。
   (4) 由(3),(4)得 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 另证四 （利用权方和不等式）由权方和不等式和均值不等式得 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(1/4)(a+b+c+d)^3/[3(a+b+c+d)] =(1/12)[(a+c)+(b+d)]^2 >=(1/12){2[(a+c)(b+d)]^(1/2)}^2 =(1/3)(a+c)(b+d) =(1/3)(ab+bc+cd+da) =1/3。
   另证五 （局部不等式方法）由均值不等式得 3a*(b+c+d)^3=3a*(b+c+d)*(b+c+d)*(b+c+d)=(256/27)^(1/3)*a^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3), 同理可得 b^3/(c+d+a)>= (256/27)^(1/3)*b^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3), c^3/(d+a+b)>=(256/27)^(1/3)*c^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3), d^3/(a+b+c)>=(256/27)^(1/3)*d^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3), 于是由幂平均不等式得 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(256/27)^(1/3)*(a^(10/3)+b^(10/3)+c^(10/3)+d^(10/3))/(a+b+c+d)^(4/3) >=(256/27)^(1/3)*4[(a+b+c+d)/4]^(10/3)/(a+b+c+d)^(4/3) =(1/12)*(a+b+c+d)^2 =(1/12)[(a+c)+(b+d)]^2 >=(1/12){2[(a+c)(b+d)]^(1/2)}^2 =(1/3)(a+c)(b+d) =(1/3)(ab+bc+cd+da) =1/3。
   。收起