一道初中数学题

初中数学动点题一道，急如图，直线y=-

如图，直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点，以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度 （1）求A、B点坐标 （这问不用做，答案是A(0，1)B(根号3，0)） 因为直线方程为：y=(-√3/3)x+1 所以，它与y轴的交点，即x=0时，y=1 则：A(0,1) 它与x轴的交点，即y=0时，x=√3 则：B(√3,0) （2）将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动，移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt，设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。 试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围（有三...全部

  如图，直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点，以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度 （1）求A、B点坐标 （这问不用做，答案是A(0，1)B(根号3，0)） 因为直线方程为：y=(-√3/3)x+1 所以，它与y轴的交点，即x=0时，y=1 则：A(0,1) 它与x轴的交点，即y=0时，x=√3 则：B(√3,0) （2）将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动，移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt，设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。
  试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围（有三种情况） 因为△ABC是是沿x轴平行移动，所以B点始终在x轴上，并且AB、BC的方向均不变。所以，点C已知是在一条平行于x轴的直线上移动（如图中最上端平行于x轴的红色直线） 那么： i） 当△ABC沿x轴的正方向移动时 由(1)知道，Rt△AOB中，AO=1，BO=√3 所以，由勾股定理有AB=2 则，∠ABO=30°，且BC=AB=2 若△ABC的顶点刚好移动到BC上，因为AtBt//AB 所以，∠AtBtB=∠ABO=30°，且AtBt=AB=2 所以，BBt=2*(√3/2)=√3 因为△ABC的移动速度为1单位/s，所以: t=(√3)/1=√3 s 那么，当t≥√3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=√3 s时，At点正好在BC上，但是它们重叠的面积可以认为是0)，故此时S=0 当0≤t＜√3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
  此时，设AtBt与BC相交于点D，AtCt与BC相交于点E 那么，BBt=t*1=t 因为AtBt//AB，所以：∠DBtB=30° 那么：DBt=BBt*(√3/2)=(√3/2)t 所以，AtD=AtBt-DBt=2-(√3/2)t 而，△AtDE仍然是等腰直角三角形，所以：DE=AtD 所以，它们重叠部分的面积（图中蓝色部分）S=(1/2)*AtD*DE =(1/2)*[2-(√3/2)t]^2 所以，当△ABC沿x轴正方向移动时，就有： 当0≤t＜√3 s时，S=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2 当t△≥√3 s时，S=0 ii） 当△ABC沿x轴负方向移动时 若A点刚好落在BtCt上，那么： 因为BtCt//BC，而BC⊥AB 所以，BtCt⊥AB 即，△BABt为直角三角形 而，∠ABBt=30°，AB=2 所以，BBt=AB/(√3/2)=4√3/3 因为△ABC的移动速度为1单位/s，所以: t=(4√3/3)/1=4√3/3 s 那么，当t△≥4√3/3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=4√3/3 s时，A点正好在BtCt上，但是它们重叠的面积可以认为是0)，故此时S=0 又，当B点运动到O点时，t=(√3)/1=√3 s 所以，当0≤t≤√3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
  此时，设AB与BtCt相交于点P，AC与BtCt相交于点Q，AtBt与AO相交于点M。
  那么，重叠部分的面积S由两部分构成，一个是等腰直角三角形APQ，一个是直角梯形AMBtP 那么，BBt=t*1=t 因为∠ABO=30° 那么，PB=BBt*(√3/2)=(√3/2)t,PBt=BBt*(1/2)=t/2 且OBt=OB-BBt=√3-t 而，MBt//AB，所以：∠MBtO=30° 所以，AP=AB-PB=2-(√3/2)t MBt=OBt/(√3/2)=(√3-t)/(√3/2)=(6-2√3t)/3 而，△APQ仍然是等腰直角三角形，所以：PQ=AP 所以，等腰直角△APQ的面积S1=(1/2)*AP*PQ =(1/2)*[2-(√3/2)t]^2 而，直角梯形AMBtP的面积S2=(1/2)*[MBt+AP]*BtP =(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2) 所以，它们重叠部分的面积（图中灰色部分）S=S1+S2 =(1/2)*[2-(√3/2)t]^2+(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2) =[(9-7√3)/24]t^2-(√3-1)t+2 当√3 s＜t＜4√3/3 s时，它们重叠的部分就是一个三角形 仍然设AtBt与AO相交于点M，AB与BtCt相交于点P，AC与BtCt相交于点Q，那么它们重叠的部分就是△AMQ（图中紫色部分） 此时，仍然有： BBt=t，PB=BBt*(√3/2)=√3t/2 AP=AB-BP=2-(√3t/2) 此时，△APQ仍为等腰直角三角形，所以：PQ=AP=2-(√3t/2) 而，∠AMP=∠OMBt=∠ABO=30° 所以，MP=AP*√3=2√3-(3t/2) 所以，QM=PQ+PM=2-(√3t/2)+2√3-(3t/2)=(2+2√3)-[(3+√3)t/2] 由于MQ//BC，而BC⊥AB 所以，MQ⊥AP 即，AP为△AMQ的高 则，重叠部分的面积S=(1/2)*QM*AP =(1/2)*[2+2√3t-(3+√3)t/2]*[2-(√3t/2)] =(3-3√3)t^2/4-(3t/2)+2。收起