一道数学分析证明题
f可积，所以有界，可设|f(x)|0
显然有在[c,d]上，f(x)>0。
2。
若有a≤c
∫{c→d}f(x)dx≤A(d-c)
∫{a→c}f(x)dx+∫{d→b}f(x)dx>0
可设B=∫{a→c}f(x)dx>0,则有[a,c]上的分割
a=e(0)
>B/2>0,其中n(i)=inf{f(x),x∈[e(i),e(i+1)]}。
所以有个n(j)>0,根据1。得在上∈[e(j),e(j+1)]，f(x)>0。
3。
若任意a≤c
>∑{i∈C(n)}m(i)(e(i+1)-e(i))≥
≥(1/n)∑{i∈C(n)}(e(i+1)-e(i))
==>
∑{i∈C(n)}...全部
f可积，所以有界，可设|f(x)|0
显然有在[c,d]上，f(x)>0。
2。
若有a≤c
∫{c→d}f(x)dx≤A(d-c)
∫{a→c}f(x)dx+∫{d→b}f(x)dx>0
可设B=∫{a→c}f(x)dx>0,则有[a,c]上的分割
a=e(0)
>B/2>0,其中n(i)=inf{f(x),x∈[e(i),e(i+1)]}。
所以有个n(j)>0,根据1。得在上∈[e(j),e(j+1)]，f(x)>0。
3。
若任意a≤c
>∑{i∈C(n)}m(i)(e(i+1)-e(i))≥
≥(1/n)∑{i∈C(n)}(e(i+1)-e(i))
==>
∑{i∈C(n)}(e(i+1)-e(i))<(b-a)/[8*2^n]
ⅱ。
设集合D(n)={x,f(x)≥1/n}
根据ⅰ。得:有由几个区间的并而成的集合E(n)，且其
区间长度和<(b-a)/[8*2^n],使D(n)是E(n)的子集。
ⅲ。
使用和ⅰ。
ⅱ。同样方法可得：
有由几个区间的并而成的集合F(n)，且其
区间长度和<(b-a)/[8*2^n],使D'(n)是F(n)的子集,
其中D'(n)={x,f(x)≤-1/n}。
ⅳ。
由于任意x,f(x)≠0,所以[a,b]是
[∪{n≥1}E(n)]∪[∪{n≥1}F(n)]的子集。
==》
b-a≤2∑{n≥1}(b-a)/[8*2^n]=(b-a)/4。
矛盾，所以不可能有情况3。
只可能有前面1。2。的情况，
命题成立。
。收起
