复数

设复数Z1，Z2，满足Z1Z2+2iZ1-2iZ2+1=O 若|Z1|=根号3，是否存在常数K，使得等式|Z2-4i|=K成立？求K. 设Z是复数，|Z|=1，当|（Z-1)(Z-i）|最大时，Z=多少

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2008-06-10

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解： Z1Z2+2iZ1-2iZ2+1=0 解得Z1=(2iZ2-1)/(2i+Z2) 取模得|Z1|=|2iZ2-1|/|2i+Z2|=√3 设Z2=x+yi,经计算可知Z2的轨迹方程为： x²+(y-4)²=27 这是一个圆心在(0,4),半径为3√3的圆于是自然得到:使等式|Z2-4i|=K成立的K为3√3 设Z=x+yi 由题意,x²+y²=1 经计算,|(Z-1)(Z-i)| =2√(1-x)(1-y) =2√(xy-x-y+1) =2√[[((x+y)²-1)/2]-(x+y)+1] =(√2)|x+y-1| ≤(√2)|-2√[(x²+y²)/2]-1| =(√2)|-√2-1| =2+√2 当且仅当x=y=-√2/2时等号成立此时,Z=-(√2/2)-(√2/2)i。
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