求证：sinA+sinB+sinC大于cosA+cosB+cosC

三角形ＡＢＣ中，＂ｓｉｎＡ＋ｓｉ

＂ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＂是＂Ｃ＝９０度＂的充要条件。 (1)。若ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ sinA+sinB =sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2] ={sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]} +{sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]} =2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] cosA+cosB =cos[(A+B)/2+(A-B)/2]+cos[(A+B)/2-(A...全部

  ＂ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＂是＂Ｃ＝９０度＂的充要条件。 (1)。若ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ sinA+sinB =sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2] ={sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]} +{sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]} =2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] cosA+cosB =cos[(A+B)/2+(A-B)/2]+cos[(A+B)/2-(A-B)/2] ={cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]} +{cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]} =2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] ∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] cos[(A-B)/2]*{[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]}=0 ∴cos[(A-B)/2]=0或者[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]=0 即cos[(A-B)/2]=0或者tan[(A+B)/2]=1 所以(A-B)/2=∏/2+K∏,(K∈Z)或者(A+B)/2=∏/4+K∏,(K∈Z) 即A-B=∏+2K∏,(K∈Z)或者A+B=∏/2+2K∏,(K∈Z) 又A,B,C是三角形的内角, 所以A+B=∏/2 所以 Ｃ＝９０度。
   (2)。若Ｃ＝９０度,则A+B=90度。 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ =sinA+sin(90-A) =sinA+cosA ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ =cosA+cos(90-A) =cosA+sinA ∴ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ 综上所述, 三角形ＡＢＣ中，＂ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＂是＂Ｃ＝９０度＂的充要条件 。
   。收起