题 在锐角三角形ABC中，求证
cos(B-C)/cosA+cos(C-A)/cosB+cos(A-B)/cosC≥6
题 在锐角三角形ABC中，求证
P=cos(B-C)/cosA+cos(C-A)/cosB+cos(A-B)/cosC≥6
证明（1） cos(B-C)/cosA= cos(B-C)/-cos(B+C）
=[sinBsinC+cosBcosC]/[sinBsinC-cosBcosC]
=[tanBtanC+1/[tanBtanC-1]
=[tanAtanBtanC+tanA]/[tanAtanBtanC-tanA]
=[2tanAtanBtanC]/[tanBtanC]
=2tanA/[tanBtanC]+1。
同样可得:
cos(C-A)/cosB=2tanB/[tanAtanC]+...全部
题 在锐角三角形ABC中，求证
P=cos(B-C)/cosA+cos(C-A)/cosB+cos(A-B)/cosC≥6
证明（1） cos(B-C)/cosA= cos(B-C)/-cos(B+C）
=[sinBsinC+cosBcosC]/[sinBsinC-cosBcosC]
=[tanBtanC+1/[tanBtanC-1]
=[tanAtanBtanC+tanA]/[tanAtanBtanC-tanA]
=[2tanAtanBtanC]/[tanBtanC]
=2tanA/[tanBtanC]+1。
同样可得:
cos(C-A)/cosB=2tanB/[tanAtanC]+1
cos(A-B)/cosC=2tanC/[tanBtanA]+1
这样待证不等式就等价于[注意 tanA>0，tanB>0，tanC>0]
tanA/[tanBtanC]+[tanAtanC]+tanC/[tanBtanA]>=3/2
上式是己知不等式，证明也很简单。
设x=tanBtanC,y=tanAtanC,z=tanBtanA。
据己知不等式 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9，即得。
证明(2) 因为 cos(B-C)=2sinBsinC-cosA，故待证不等式等价于
sinBsinC/cosA+sinCsinA/cosB+sinAsinB/cosC>=9/2
根据余弦定理,面积公式及简单不等式:(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9得
sinBsinC/cosA+sinCsinA/cosB+sinAsinB/cosC>=
8△^2{1/[a^2(b^2+c^2-a^2)]+1/[b^2(c^2+a^2-b^2)]+
1/[c^2(a^2+b^2-c^2)]}>=(1/2)[a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)+c^2(a^2+b^2-c^2)]*{1/[a^2(b^2+c^2-a^2)]+1/[b^2(c^2+a^2-b^2)]+1/[c^2(a^2+b^2-c^2)]}>=9/2
。收起
