高等代数矩阵的初等变换是否会改变矩阵的
不会改变!
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,
任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。
(1) 对矩阵A施行行交换变换,设交换矩阵A中某两行得矩阵B,显然B中的任一子式经过行重新排列必是矩阵A的一个子式,两者之间只可能有符号差别,而是否为零的性质不变,因此进行交换变换后,秩不变。
(2) 对矩阵A施行行的倍法变换,,用k ¹ 0乘矩阵A的第I行得矩阵C,C矩阵的子式或是A的子式;或是A的相应子式的k倍,因而任一子式是否为零的性质不变,所以秩不变。
(3) 设rA=r,A的i行元素加上第j行对应元素的k倍,得矩阵D。 考虑D中的r+1阶子式,设M为D中的r+1阶子式,那...全部
不会改变!
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,
任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。
(1) 对矩阵A施行行交换变换,设交换矩阵A中某两行得矩阵B,显然B中的任一子式经过行重新排列必是矩阵A的一个子式,两者之间只可能有符号差别,而是否为零的性质不变,因此进行交换变换后,秩不变。
(2) 对矩阵A施行行的倍法变换,,用k ¹ 0乘矩阵A的第I行得矩阵C,C矩阵的子式或是A的子式;或是A的相应子式的k倍,因而任一子式是否为零的性质不变,所以秩不变。
(3) 设rA=r,A的i行元素加上第j行对应元素的k倍,得矩阵D。
考虑D中的r+1阶子式,设M为D中的r+1阶子式,那么有三种可能:
(a) M不包含D中的第i行元素,这时M也是矩阵A中的r+1阶子式,由rA=r的定义 ,M=0。
(b) M包含D中第i行元素,同时也包含D中的第j行元素,这时由行列性质6,得M=0。
(c) M包含D中的第i行元素,但不包含D中的第j行元素。
综上所述,证得D中所有的r+1阶子式全为零,所以rD≤rA。
另一方面,我们将D的第I行元素加上第j行对应元素的(-k)
倍,就得到矩阵A,同理可得rA≤rD
于是rD=rA,即矩阵A经过行的消法变换秩不变。
同理,矩阵A经过列的初等变换秩也不会变。
矩阵的秩不随初等变换而改变,说明矩阵的秩是反映矩阵固有
性质的一个数。
。收起