空间某点引出4条射线,有6个夹角。它们满足什么关系
这6个夹角。满足的关系较复杂。
1。
记这4条射线的单位向量分别为:e1,e2,e3,e4。
==>
cos(θ(i,j))=ei*ej,其中θ(i,j))为ei和ej的夹角,
*为点乘。
2。
由于e1,e2,e3,e4线性相关,所以可设
e4=xe1+ye2+ze3。
==>
1=(xe1+ye2+ze3)*(xe1+ye2+ze3)=
=x^2+y^2+z^2+2e1*e2xy+2e1*e3xz+2e2*e3yz。
3。
由e4=xe1+ye2+ze3得:
e4*e1=xe1*e1+ye2*e1+ze3*e1=x+ye2*e1+ze3*e1
e4*e2=xe1*e2+y+ze...全部
这6个夹角。满足的关系较复杂。
1。
记这4条射线的单位向量分别为:e1,e2,e3,e4。
==>
cos(θ(i,j))=ei*ej,其中θ(i,j))为ei和ej的夹角,
*为点乘。
2。
由于e1,e2,e3,e4线性相关,所以可设
e4=xe1+ye2+ze3。
==>
1=(xe1+ye2+ze3)*(xe1+ye2+ze3)=
=x^2+y^2+z^2+2e1*e2xy+2e1*e3xz+2e2*e3yz。
3。
由e4=xe1+ye2+ze3得:
e4*e1=xe1*e1+ye2*e1+ze3*e1=x+ye2*e1+ze3*e1
e4*e2=xe1*e2+y+ze3*e2
e4*e3=xe1*e3+ye3*e2+z
设B=(e4*e1,e4*e2,e4*e3)^t,
A1=(1,e2*e1,e3*e1)^t,
A2=(e2*e1,1,e3*e2)^t,
A1=(e3*e1,e3*e2,1)^t
==>
B=xA1+yA2+zA3。
4。
记det为行列式。
设
I=[det(B,A2,A3)]^2+[det(A1,B,A3)]^2+[det(A1,A2,B)]^2+
+2(e2*e1)[det(B,A2,A3)][det(A1,B,A3)]+
+2(e3*e1)[det(B,A2,A3)][det(A1,A2,B)]+
+2(e3*e2)[det(A1,B,A3)][det(A1,A2,B)]
将B=xA1+yA2+zA3代入I中得:
I=[det(A1,A2,A3)]^2×
×{x^2+y^2+z^2+2e1*e2xy+2e1*e3xz+2e2*e3yz}=
=[det(A1,A2,A3)]^2
这6个夹角。
它们满足的关系是:
I=[det(A1,A2,A3)]^2 ((J))
注意1。
I和[det(A1,A2,A3)]^2都是夹角的余弦。
注意2。
当e1,e2,e3两两垂直时,
e4=cos(θ(1,4))e1+cos(θ(2,4))e2+cos(θ(3,4))e3。
则关系式((J))为熟知的:
[cos(θ(1,4))]^2+[cos(θ(2,4))]^2+[cos(θ(3,4))]^2=1。
。收起