正四面体ABCD内接于半径为R的球，求正四面体的棱长

正四面体ABCD内接于半径为R的球，求正四面体的棱长

如图，正四面体P-ABC内接于球O，O的半径为R 过点P作面ABC的垂线，垂足为O' 则，O'为等边△ABC所在圆面的圆心，且球心O在PO'上 设正四面体P-ABC的棱长为a，OO'=x 那么，BO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a PO=BO=R，PB=a 那么，由勾股定理有： BO^2=BO'^2+OO'^2 ===> R^2=(a^2/3)+x^2 ===> R^2-x^2=a^2/3 ===> (R+x)*(R-x)=a^2/3……………………………………（1） PB^2=PO'^2+BO'^2 ===> a^2=(R+x)^2+(a^2/3) ===> (R+x)^...全部

  如图，正四面体P-ABC内接于球O，O的半径为R 过点P作面ABC的垂线，垂足为O' 则，O'为等边△ABC所在圆面的圆心，且球心O在PO'上 设正四面体P-ABC的棱长为a，OO'=x 那么，BO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a PO=BO=R，PB=a 那么，由勾股定理有： BO^2=BO'^2+OO'^2 ===> R^2=(a^2/3)+x^2 ===> R^2-x^2=a^2/3 ===> (R+x)*(R-x)=a^2/3……………………………………（1） PB^2=PO'^2+BO'^2 ===> a^2=(R+x)^2+(a^2/3) ===> (R+x)^2=(2/3)a^2 ===> R+x=(√6/3)a 代入(1)有：(√6/3)a*(R-x)=a^2/3 ===> R-x=(√6/6)a 所以：2R=(√6/3)a+(√6/6)a=(√6/2)a 所以，a=(2√6/3)R。
  收起