一道函数问题
昨晚和今晨的来信都以收到,在昨晚【1】【2】解答的基础上根据你的补充给出【3】的结论。
提交前发现已经有人回答了,可惜楼上朋友没有详细过程,所以Un是怎么求错的无法给他指正。
不是 Un=-n/[2^(-n)] ,应该是 Un=-n*[2^(-n)]。
至于和你说的:如果在初始条件 f(2)=2 下,可以求出 f(x)=xlogx。因为需要补充f(x)在x=1点可导,而且还要用到高等数学微分方程方法,这里不适合多谈。
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【1】取a=b=1,据题意有 f(1)=2f(1),所...全部
昨晚和今晨的来信都以收到,在昨晚【1】【2】解答的基础上根据你的补充给出【3】的结论。
提交前发现已经有人回答了,可惜楼上朋友没有详细过程,所以Un是怎么求错的无法给他指正。
不是 Un=-n/[2^(-n)] ,应该是 Un=-n*[2^(-n)]。
至于和你说的:如果在初始条件 f(2)=2 下,可以求出 f(x)=xlogx。因为需要补充f(x)在x=1点可导,而且还要用到高等数学微分方程方法,这里不适合多谈。
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【1】取a=b=1,据题意有 f(1)=2f(1),所以f(1)=0;
取a=b=0,据题意有 f(0)=0。
【2】先取a=b=-1,据题意有 f(-1)=0,
取a=-1,b=x,据题意有f(-x)=f[(-1)*x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),
所以 f(x)是奇函数。
【3】利用数学归纳法证明 f[2^(-n)]=-n*2^(-n);
①初始验证
因为f(1)=0,f(2)=2,由 f(1)=f[2*(1/2)]=2f(1/2)+(1/2)*f(2),
即 0=2f(1/2)+1,可得 f(1/2)=-1/2;说明n=1时结论正确;
②通项假定
设 n=k 时结论成立,即f[2^(-k)]=-k*2^(-k);
③渐进递推
f{2^[-(k+1)]}=f[(1/2)*2^(-k)]=(1/2)f[2^(-k)]+[2^(-k)]f(1/2)
=(1/2)[-k*2^(-k)]+[2^(-k)]*(-1/2)=-(k+1)*2^(-k-1)
那么 n=k+1 时结论也成立。
所以 u(n)=f[2^(-n)]/n=-2^(-n),
S(n)=u(1)+u(2)+u(3)+……+u(n)=2^(-n)-1。
。收起