数学问答一解答问题 g
个人认为本题是无法做的【错题】。
如果经过【适当的重要的关键的修改】：任给1001个绝对值小于1的【不同】的实数，………………
——————那么也就不太难。
是不是需要我作【适当的重要的关键的修改】后的解答？
【如果任给1001个绝对值小于1的实数全部相同】，那么结论不成立！
①如果设1001个绝对值小于1的实数A(k)（k=1,2,3,……，1001）【都是不同的】，则可将他们从小到大排列，不妨设其次序是：
-1＜A(1)＜A(2)＜A(3)＜……＜A(1001)＜1。
②设 A(k)=cosα(k)，0＜α(k)＜π，k=1,2,3,4,……，1001。
则 0＜α(1001)＜α...全部
个人认为本题是无法做的【错题】。
如果经过【适当的重要的关键的修改】：任给1001个绝对值小于1的【不同】的实数，………………
——————那么也就不太难。
是不是需要我作【适当的重要的关键的修改】后的解答？
【如果任给1001个绝对值小于1的实数全部相同】，那么结论不成立！
①如果设1001个绝对值小于1的实数A(k)（k=1,2,3,……，1001）【都是不同的】，则可将他们从小到大排列，不妨设其次序是：
-1＜A(1)＜A(2)＜A(3)＜……＜A(1001)＜1。
②设 A(k)=cosα(k)，0＜α(k)＜π，k=1,2,3,4,……，1001。
则 0＜α(1001)＜α(1000)＜α(999)＜α(998)＜……＜α(1)＜π。
③记 △α(k)=α(k)-α(k+1)，k=1,2,3,……,1000。
则 △α(1)+△α(2)+△α(3)+……+△α(1000)=α(1)-α(1001)＜π。
④由③可知在1～1000中至少存在一个k，使 0＜△α(k)＜π/1000。
cos(π/1000)＜cos△α(k)＜1，而 cos(π/1000)=sin(π/2-π/1000)=sin(499π/1000)，
所以 sin(499π/1000)＜cos△α(k)＜1
⑤取 x=A(k)=cosα(k)，y=A(k+1)=cosα(k+1)，则
xy+√[(1-x)(1-y)]
=cosα(k)cosα(k+1)+sinα(k)sinα(k+1)
=cos[α(k)-(k+1)]
=cos△α(k)
【结论】由④、⑤可知，在任给1001个绝对值小于1的【不同】的实数中，至少有两个实数 x,y 满足
sin(499π/1000)＜xy+√[(1-x)(1-y)]＜1。
。收起
