切平面方程

椭球面x^2+2y^2+z^2=22上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程。给出详细的解题过程

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2018-02-02

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解：设（x0,y0,z0)是椭球面上的切点，令：F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-22 ∴f'x=2x|（x0,y0,z0)=2x0 f'y=4y|（x0,y0,z0)=4y0 f'z=2z|（x0,y0,z0)=2z0 所以切平面方程是： 2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+2z0(z-z0)=0 因为切平面方程平行于平面x-y+2z=0：即：2x0/1=4y0/(-1)=2z0/2 ==>2x0=-4y0=z0 又（x0,y0,z0)在椭球面上： x0^2+2*x0^2/4+4x0^2=22 ==>x0^2=4 ==>x0=±2 即:所求的切点是:(2,-1,4),(-2,1,-4) 切平面方程为: (1)4(x-2)-4(y+1)+8(z-4)=0 ==>x-y+2z=11 (2)-4(x+2)+4(y-1)-8(z+4)=0 ==>x-y+2z=-11。
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