数列已知数列{An}的前n项和Sn满足Sn=2An+(-1)^n,n∈N+,求通项An
解题思路:
由于从A1,A2,A3,…的具体值,看不出来An,所以转向研究Sn的规律。
(1)先求出A1=1
Sn=2An+(-1)^n,n∈N+,
n=1,S1=A1=2*A1-1,A1=1;
(2)找Sn的规律
Sn=2[Sn-S(n-1)]+(-1)^n,
Sn=2S(n-1)+(-1)^n
S1=1
S2=1
S3=3
S4=5
S5=11
S6=21
S7=43
S8=85
分奇偶项
奇数项S(2n+1)=4*S(2n-1)-1
偶数项S(2n+2)=4*S(2n)+1
(3)求A(2n+1)和A(2n+2)
对于奇数项
S(2n+1)=4*S(2n-1)-1
[S(2n+1...全部
解题思路:
由于从A1,A2,A3,…的具体值,看不出来An,所以转向研究Sn的规律。
(1)先求出A1=1
Sn=2An+(-1)^n,n∈N+,
n=1,S1=A1=2*A1-1,A1=1;
(2)找Sn的规律
Sn=2[Sn-S(n-1)]+(-1)^n,
Sn=2S(n-1)+(-1)^n
S1=1
S2=1
S3=3
S4=5
S5=11
S6=21
S7=43
S8=85
分奇偶项
奇数项S(2n+1)=4*S(2n-1)-1
偶数项S(2n+2)=4*S(2n)+1
(3)求A(2n+1)和A(2n+2)
对于奇数项
S(2n+1)=4*S(2n-1)-1
[S(2n+1)-1/3]=4*[S(2n-1)-1/3]
{S(2n+1)-1/3}构成等比数列
S(2n+1)-1/3=(4^n)*(S1-1/3)=(4^n)*(2/3)
S(2n+1)=(4^n)*(2/3)+1/3
代入已知条件An=[Sn-(-1)^n]/2
并注意把n换成2n+1,得
A(2n+1)=[S(2n+1)+1]/2
=[(4^n)*(2/3)+1/3+1]/2
=[(4^n)*(2/3)+4/3]/2
=[(4^n)+2]/3
对于偶数项,同理可得
S(2n+2)=4*S(2n)+1
[S(2n+2)+1/3]=4*[S(2n)+1/3]
S(2n+2)+1/3=(4^n)*(S2+1/3)=(4^n)*(4/3)
S(2n+2)=(4^n)*(4/3)-1/3
A(2n+2)=[S(2n+2)-1]/2
=[(4^n)*(4/3)-1/3-1]/2
=[(4^n)*(4/3)-4/3]/2
=[(4^n)-1]*(2/3)
所以,通项分奇数项和偶数项表达
A(2n+1)=[(4^n)+2]/3
A(2n+2)=[(4^n)-1](2/3)
。收起
