海伦公式用来计算三角形面积的。
“海伦公式”是几何定理,它的证明关键是“勾股定理”。
现在不少奥数老师用余弦定理证明勾股定理,争论颇多,我认为是循环论证,
奥数老师认为勾股定理与余弦定理等价。
从“数学发展史”及“人类认识论规律”看“三角”应该在“几何”的后面。
要搞清楚这一点,否则就会对于“循环论证”的错误没有一个认定的标准。
我的证明如下,可以看出,这个证明与楼上两位的证明有本质的区别。
我不同意奥数老师认为这两种证明完全等价的观点。
仅供参考
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简证:
依余弦定理得
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc,
显然,00,
∴sinA=√[1-(cosA)^2]
=√[1-((b^2+c^2-a^2)/2bc)^2]
={√[(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)]}/(2bc)
→(1/2)bcsinA={√[(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)]}/4。
设△ABC面积为S,半同长p=(a+b+c)/2,
代入上式整理得,
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]——这就是海伦公式。
4S=2absinC
=2ab√[1-(cosC)^2]
=√[(2ab)^2-(2abcosC)^2]
=√[(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=√(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)
=√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(c+b-a)
∴S=[√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(c+b-a)]/4
即为海伦公式
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