(2015•眉山模拟)已知函数f(x)=alnx 1x(a>0).(Ⅰ)求函数f...
解:(Ⅰ)函数的定义域为(0, ∞)求导函数可得f′(x)=ax-1x2=ax-1x2由f′(x)>0,可得x>1a;由f′(x)<0,可得0<x<1a∴函数f(x)的单调增区间为(1a, ∞),单调减区间为(0,1a)当x=1a时,函数取得极小值为f(1a)=-alna a;(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,则①2-lnx>0时,a≤1x(2-lnx)恒成立令g(x)=1x(2-lnx),∴g′(x)=lnx-1[x(2-lnx)]2当lnx<1时,g′(x)<0,当1<lnx<2时,g′(x)>0,∴lnx=1时,即x=e时,函数取得最小值为g(e)=1e∴a≤1...全部
解:(Ⅰ)函数的定义域为(0, ∞)求导函数可得f′(x)=ax-1x2=ax-1x2由f′(x)>0,可得x>1a;由f′(x)<0,可得0<x<1a∴函数f(x)的单调增区间为(1a, ∞),单调减区间为(0,1a)当x=1a时,函数取得极小值为f(1a)=-alna a;(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,则①2-lnx>0时,a≤1x(2-lnx)恒成立令g(x)=1x(2-lnx),∴g′(x)=lnx-1[x(2-lnx)]2当lnx<1时,g′(x)<0,当1<lnx<2时,g′(x)>0,∴lnx=1时,即x=e时,函数取得最小值为g(e)=1e∴a≤1e②2-lnx<0时,a≥1x(2-lnx)恒成立令g(x)=1x(2-lnx),∴g′(x)=lnx-1[x(2-lnx)]2当2-lnx<0时,g′(x)>0,∴函数在(e2, ∞)上单调增,函数无最大值,故此时a≥1x(2-lnx)不恒成立;∴实数a的取值范围是(-∞,1e];(Ⅲ)不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0由(Ⅰ)知函数f(x)的单调增区间为(1a, ∞),单调减区间为(0,1a)若1≤1a≤e,即1e≤a≤1,则函数f(x)在[1,e]上最小值为f(1a)=-alna a=0,∴a=e,不满足题意若0<1a<1,即a>1,则函数f(x)在[1,e]上最小值为f(1)=1,不满足题意;若1a>e,0<a<1e时,函数f(x)在[1,e]上最小值为f(e)=a 1e=0,∴a=-1e,不满足题意.综上知,不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0.。
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