做一个圆锥形的无盖容器,试问怎样下料做成的容器最大?
解:设圆锥侧面展开的扇形中心角为θ, 圆锥底面半径为r, 高为h
则 2πr=θR ==> r=θR/2π
又
h=√(R²-r²)=√[R²-(Rθ/2π)²]=R√(4π²-θ²)/2π
故
`V²=R⁶/(24π²)²·θ²·θ²·(4π²-θ²)
=1/2·R⁶/(24π²)²·θ²·θ²·(8π²-2θ²)
≤1/2·R⁶/(24π²)²...全部
解:设圆锥侧面展开的扇形中心角为θ, 圆锥底面半径为r, 高为h
则 2πr=θR ==> r=θR/2π
又
h=√(R²-r²)=√[R²-(Rθ/2π)²]=R√(4π²-θ²)/2π
故
`V²=R⁶/(24π²)²·θ²·θ²·(4π²-θ²)
=1/2·R⁶/(24π²)²·θ²·θ²·(8π²-2θ²)
≤1/2·R⁶/(24π²)²·{[θ²+θ²+(8π²-2θ²]/3}³
=4π²R⁶/243
当且仅当θ²=8π²-2θ², 即θ=2π√6/3时容积取最大值。
Vmax=2πR³√3/27。收起