已知a>0,b>0,且2a^2+
解法一：记y=a*(1+b^2)^(1/2)考虑到a>0,b>0,从而y>0。则y=(y^2)^(1/2)=[a^2*(1+b^2)]^(1/2),由于2a^2+b^2=2，则b^2=2-2*a^2。 则y=[a^2*(3-2*a^2)]^(1/2)=2^(1/2)*[a^2*(3/2-a^2)]^(1/2)利用基本不等式：a》0，b》0，则(a*b)^(1/2)《(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立。 则y《2^(1/2)*(3/4)当且仅当a=(1/2)*3^(1/2),b=(1/2）^(1/2)时等号成立，则最大值是2^(1/2)*(3/4)。
解法一的后部分用配方法也行，当...全部
解法一：记y=a*(1+b^2)^(1/2)考虑到a>0,b>0,从而y>0。则y=(y^2)^(1/2)=[a^2*(1+b^2)]^(1/2),由于2a^2+b^2=2，则b^2=2-2*a^2。
则y=[a^2*(3-2*a^2)]^(1/2)=2^(1/2)*[a^2*(3/2-a^2)]^(1/2)利用基本不等式：a》0，b》0，则(a*b)^(1/2)《(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立。
则y《2^(1/2)*(3/4)当且仅当a=(1/2)*3^(1/2),b=(1/2）^(1/2)时等号成立，则最大值是2^(1/2)*(3/4)。
解法一的后部分用配方法也行，当然求导也行，不过用不等式更简洁。
解法二：三角代换
由于a>0,b>0,2*a^2+b^2=2。令a=cost,b=2^(1/2)sint,0《t《π/2
y=cost*[1+2*(sint)^2]^(1/2)《(1/2）^(1/2)*[2(cost)^2+2(sint)^2+1]/2=2^(1/2)*(3/4)等号当且仅当t=arctan(1/3)^(1/2)时成立。
也即a=(1/2)*3^(1/2),b=(1/2）^(1/2)时等号成立。
这里同样运用了基本不等式：a》0，b》0，则ab《(a^2+b^2)/2，
等号当且仅当a=b时成立。
其实两种初等证法本质相同。
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