分析一下已知a>0,b>0,,2
解：对于本题错误的解法是：
∵2a+b≥2√2ab
由2/a+1/b=1 2a=b 得a=2。5 b=5 所以最小值为10
错误原因是：
等号成立时应有2/a+1/b=1 2a=b
显然,当2a≠b时,最小值不是10。
最直接的有利用常值代入：
2a+b=(2/a+1/b)(2a+b)=5+2b/a+2a/b≥5+2√(2b/a·2a/b)=9
当且仅当2a=b 且 2/a+1/b=1,即a=2。 5 b=5时取最小值9。
出个例题：已知x,y属于正实数，且x+2y=3,求函数S=1/x+1/y的最小值
解法一：三角换元法
设x/3=sin²θ,2y/3=cos²...全部
解：对于本题错误的解法是：
∵2a+b≥2√2ab
由2/a+1/b=1 2a=b 得a=2。5 b=5 所以最小值为10
错误原因是：
等号成立时应有2/a+1/b=1 2a=b
显然,当2a≠b时,最小值不是10。
最直接的有利用常值代入：
2a+b=(2/a+1/b)(2a+b)=5+2b/a+2a/b≥5+2√(2b/a·2a/b)=9
当且仅当2a=b 且 2/a+1/b=1,即a=2。
5 b=5时取最小值9。
出个例题：已知x,y属于正实数，且x+2y=3,求函数S=1/x+1/y的最小值
解法一：三角换元法
设x/3=sin²θ,2y/3=cos²θ,00,解得S≥1+2√2/3。
解法四：真分式代换
设x=3a/(a+b),2y=3b/(a+b),a,b∈R+,
则S=1/x+1/y=(a+b)/3a+2(a+b)/3b
```=1+(b/3a+2a/3b)
```≥1+2√(b/3a·2a/3b)
```=1+2√2/3
解法五：设x=pcosθ y=psinθ 0<θ<π/2
代入x+2y=3,得1/p=(cosθ+sinθ)/3
S=1/x+1/y=(1/p)(1/cosθ+1/sinθ)
`=(1/3)(cosθ+2sinθ)(1/cosθ+1/sinθ)
`=1+(1/3)(2tanθ+cotθ)
`≥1+2√2/3
想想解法四、五的等号成立吗？
。
收起
