重要数学题

高一数学题.已知二次函数f(x)

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且f(x)≤1/8(x+2)^2恒成立。 （1）证明：f(2)=2 因为对于任意实数x，都有f(x)≥x，f(x)≤(1/8)(x+2)^2 所以： f(2)≥2，且f(2)≤(1/8)*(2+2)^2=2 即，2≤f(2)≤2 所以，f(2)=2 （2）若f(-2)=0,求f(x)的表达式 已知f(x)=ax^2+bx+c，且f(2)=2，f(-2)=0 则： 4a+2b+c=2……………………………………………………（1） 4a-2b+c=0……………………………………………………（2）...全部

  已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且f(x)≤1/8(x+2)^2恒成立。
   （1）证明：f(2)=2 因为对于任意实数x，都有f(x)≥x，f(x)≤(1/8)(x+2)^2 所以： f(2)≥2，且f(2)≤(1/8)*(2+2)^2=2 即，2≤f(2)≤2 所以，f(2)=2 （2）若f(-2)=0,求f(x)的表达式 已知f(x)=ax^2+bx+c，且f(2)=2，f(-2)=0 则： 4a+2b+c=2……………………………………………………（1） 4a-2b+c=0……………………………………………………（2） (1)-(2)得到：4b=2 所以，b=1/2 (1)+(2)得到：2(4a+c)=2 所以，4a+c=1 则，c=1-4a……………………………………………………（3） 已知对于任意实数x都有f(x)≥x，即：ax^2+(1/2)x+c≥x恒成立 所以：ax^2-(1/2)x+c≥0恒成立 则，a＞0，且△=(1/2)^2-4ac≤0 ===> a＞0，且(1/4)-4a*(1-4a)≤0 ===> a＞0，且16a^2-4a+(1/4)≤0 ===> a＞0，且[4a-(1/2)]^2≤0 所以，a=1/8 代入(3)得到：c=1-4a=1-4*(1/8)=1-(1/2)=1/2 则，二次函数的表达式为：y=(1/8)x^2+(1/2)x+(1/2) （3）设g(x)=f(x)-(m/2)x,x∈[0，+∞)，若g(x)图上的点都位于直线y=1/4的上方，求实数m的取值范围 g(x)=f(x)-(m/2)x=(1/8)x^2+(1/2)x+(1/2)-(m/2)x =(1/8)x^2+[(1-m)/2]x+(1/2) 对于x∈[0,+∞)，都有g(x)＞1/4 所以，(1/8)x^2+[(1-m)/2]x+(1/2)＞1/4 ===> (1/8)x^2+[(1-m)/2]x+(1/4)＞0 ===> x^2+4(1-m)x+2＞0 即，上述方程在x≥0时恒成立 因为h(x)=x^2+4(1-m)x+2开口向上，且与y轴的交点为(0,2) 那么： ①当对称轴x=-b/(2a)=4(m-1)/2=2(m-1)≤0时，在[0,+∞)上就一定有h(x)＞0 所以，m≤1…………………………………………………………（4） ②当△=b^2-4ac=16(1-m)^2-8＜0时，因为h(x)恒经过位于x轴以上的点(0,2)，那么在R上h(x)＞0，必然满足在[0,+∞)上＞0 所以：2(1-m)^2-1＜0 ===> 2(m^2-2m+1)-1＜0 ===> 2m^2-4m+1＜0 ===> 1-(√2/2)＜m＜1+(√2/2)…………………………………（5） 由于(4)(5)得到：x＜1+(√2/2)。收起