一道线性代数题
设向量组B=(a,a,3) A1=(a+3,a,3a+3) A2=(1,a-1,a) A3=(2,1,a+3) 问a 为何值时 1 B可由A1,A2,A3线性表示 且表示式唯一 2 B可由A1,A2,A3线性表示,但表示式不唯一 3 B不能由A1,A2,A3线性表示 请详细计算 我有思路 但不好化简 请帮忙 谢谢
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把向量B，a1，a2，a3看作是列向量，记矩阵A＝(a1，a2，a3)。
问题转化为判断方程组Ax＝B何时无解，有唯一解或有无穷多解。
先求A的行列式|A|＝a^2(a－1)。
（第二列，第三列都乘以－1加到第一列，可以提出公因子a。。。） 所以，当a≠0且a≠1时，方程组Ax＝b有唯一解，即B可由A1,A2,A3线性表示，且表示式唯一。 当a＝0时，对矩阵(A，B)进行初等行变换，化为： 3 1 2 3 0 －1 1 0 0 0 0 3 r(A)＝2，r(A,B)＝3，所以方程组Ax＝B无解，即B不能由A1,A2,A3线性表示。
当a＝1时，对矩阵(A，B)进行初等行变换，化为： 1 0 1 1 0 1 －2 －3 0 0 0 0 r(A)＝r(A,B)＝2＜3，所以方程组Ax＝B有无穷多解，即B可由A1,A2,A3线性表示,但表示式不唯一。
（第二列，第三列都乘以－1加到第一列，可以提出公因子a。。。） 所以，当a≠0且a≠1时，方程组Ax＝b有唯一解，即B可由A1,A2,A3线性表示，且表示式唯一。 当a＝0时，对矩阵(A，B)进行初等行变换，化为： 3 1 2 3 0 －1 1 0 0 0 0 3 r(A)＝2，r(A,B)＝3，所以方程组Ax＝B无解，即B不能由A1,A2,A3线性表示。
当a＝1时，对矩阵(A，B)进行初等行变换，化为： 1 0 1 1 0 1 －2 －3 0 0 0 0 r(A)＝r(A,B)＝2＜3，所以方程组Ax＝B有无穷多解，即B可由A1,A2,A3线性表示,但表示式不唯一。
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