抛物线已知抛物线y2=2x与直线
解：
(1)设C(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x',y')。把y=x+b代入y²=2x
=> 得y²-2y+2b=0……(1),则y'=1,x'=y'-b=1-b。
|AB|²=(1+1/k²)[(y1+y2)²-4y1y2]=2(4-8b),
|CM|²=(x-x')²+(y-y')²=(x-1+b)²+(y-1)²。
∵△ABC是等边三角形,∴|CM|²=(√3/2)²|AB|²,
即(x-1+b)²+(y...全部
解：
(1)设C(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x',y')。把y=x+b代入y²=2x
=> 得y²-2y+2b=0……(1),则y'=1,x'=y'-b=1-b。
|AB|²=(1+1/k²)[(y1+y2)²-4y1y2]=2(4-8b),
|CM|²=(x-x')²+(y-y')²=(x-1+b)²+(y-1)²。
∵△ABC是等边三角形,∴|CM|²=(√3/2)²|AB|²,
即(x-1+b)²+(y-1)²=6(1-2b)……(2),
∵A,B为不同两点,∴(1)式的判别式Δ＞0,
∴b＜1/2,直线CN的方程为y=-x+2-b……(3)
由(2)与(3)消去b得(y-4)²=6(x+1),∵b=2-x-y＜1/2,
即x+y＞3/2。
∴顶点C的轨迹是抛物线(y-4)²=6(x+1),(x+y>1/2)的一部分。
(2)△ABC的面积为4√3,∴(√3/4)|AB|²=4√3,可得b=-1/2。
此时圆的方程为(x-3/2)²+(y-1)²=12……(4)。
点M(3/2,1),
CM的方程为y=-(x-3/2)+1,把它代入(4)式得x=5/2-(1±√6),y=1±√6。
∴点C的坐标为(3/2+√6,1-√6)和(3/2-√6,1+√6)。
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