高三圆锥曲线双曲线x^2/a^2
双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1、A2,P是双曲线右支上的一点,则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是—内切———
因为点P为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1右支上的一点,设其坐标为P(asecα,btanα)(secα>0)
左焦点F1(-√(a^2+b^2),0)
左顶点A1(-a,0),右顶点A2(a,0)
那么,以A1A2为直径的圆方程为:x^2+y^2=a^2,其圆心O1(0,0),半径为r=a
|PF1|=√{[(asecα+√(a^2+b^2)]^2+(btanα)^2}
=√[a^2sec^2 α+(a^2+b^...全部
双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1、A2,P是双曲线右支上的一点,则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是—内切———
因为点P为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1右支上的一点,设其坐标为P(asecα,btanα)(secα>0)
左焦点F1(-√(a^2+b^2),0)
左顶点A1(-a,0),右顶点A2(a,0)
那么,以A1A2为直径的圆方程为:x^2+y^2=a^2,其圆心O1(0,0),半径为r=a
|PF1|=√{[(asecα+√(a^2+b^2)]^2+(btanα)^2}
=√[a^2sec^2 α+(a^2+b^2)+2a√(a^2+b^2)secα+b^2tan^2 α]
=√[a^2sec^2 α+a^2+b^2(1+tan^2 α)+2a√(a^2+b^2)secα]
=√[a^2sec^2 α+a^2+b^2sec^2 α+2a√(a^2+b^2)secα]
=√[(a^2+b^2)sec^α+2a√(a^2+b^2)secα+a^2]
=√[√(a^2+b^2)secα+a]^2
=[√(a^2+b^2)secα+a]
所以,以PF1为直径的圆半径为R=|PF1|=[√(a^2+b^2)secα+a]/2
那么,两圆的半径差为R-r=[√(a^2+b^2)secα+a]/2-a
=[√(a^2+b^2)secα-a]/2……………………………………(1)
PF1中点,即圆R的圆心为([asecα-√(a^2+b^2)]/2,btanα/2)
那么,两圆的圆心距d=√{[asecα-√(a^2+b^2)]/2]^2+[btanα/2]^2}=……=[√(a^2+b^2)secα-a]/2…………………………(2)
由(1)(2)得到,两圆圆心距等于两圆半径之差
所以,两圆内切。
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