解析几何椭圆问题试证:直线:y=
先证充分条件---亦即原命题
∵直线Y=kX+m与椭圆X²／a²+Y²／b²=1相切（亦即它们有1个公共点）
∴把直线方程代入椭圆方程得：
X²÷a²+(kX+b)²÷b²=1====＞
(b²+a²k²)X²+2kma²X+(a²m²-a²b²)=0
∴⊿=0
∴a²k²+b²=m²
∴原命题成立
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先证充分条件---亦即原命题
∵直线Y=kX+m与椭圆X²／a²+Y²／b²=1相切（亦即它们有1个公共点）
∴把直线方程代入椭圆方程得：
X²÷a²+(kX+b)²÷b²=1====＞
(b²+a²k²)X²+2kma²X+(a²m²-a²b²)=0
∴⊿=0
∴a²k²+b²=m²
∴原命题成立
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再证必要条件---逆命题
对于直线Y=kX+b和椭圆X²÷a²+Y²÷b²=1,若有m²=a²k²+b²,则直线和椭圆相切
证明：
由Y=kX+b得：b=Y-kX
∴b²=(Y-kX)²
∵已知：b²=m²-k²a²
∴m²-k²a²=(Y-kX)²
∴(Y-kX)²=(m-ka)(m+ka)
∴Y-kX=m-ka=m+ka
∴k=0===＞Y=m
∴k²a²+b²=b²=m²===＞b=m
∴Y=b=m
∵b是椭圆的短半轴
∴直线与椭圆相切于：椭圆的一个顶点（0，b)
∴命题得证
。
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