高二数学——抛物线

抛物线已知抛物线C的顶点在原点，

这里，我们从理论上来说明题目确实有误。然后指出楼上两位关于第二题的解答与问题所问完全无关，我们老老实实地把定点求出来。 如果M的纵坐标真的为3/4，则根据x=(y-1)/(-4) 可求出其横坐标为1/16。 将　y=-4x+1 代入　y^2=2px ，得 16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2， 则根据 (1)中点坐标公式　(x1+x2)/2=1/16； (2)韦达定理　x1+x2=(2p+8)/16。 可得到　p=-3。 p=-3不符合题意，实际上直线与抛物线根本没有交点， 或者说方程组　y=-4x+1，y^2=2px　无解。 这就充分说明了楼...全部

  这里，我们从理论上来说明题目确实有误。然后指出楼上两位关于第二题的解答与问题所问完全无关，我们老老实实地把定点求出来。 如果M的纵坐标真的为3/4，则根据x=(y-1)/(-4) 可求出其横坐标为1/16。
   将　y=-4x+1 代入　y^2=2px ，得 16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2， 则根据 (1)中点坐标公式　(x1+x2)/2=1/16； (2)韦达定理　x1+x2=(2p+8)/16。
   可得到　p=-3。 p=-3不符合题意，实际上直线与抛物线根本没有交点， 或者说方程组　y=-4x+1，y^2=2px　无解。 这就充分说明了楼主的题目要不是抄错了，就是题目本身就是错的。
   [1] 在M的横坐标为3/4的情况下，重复上面的过程， 则根据x=(y-1)/(-4)可求出其横坐标为 -2，即 M=(3/4,-2)。 将　y=-4x+1 代入　y^2=2px ，得 16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2， 则根据 (1)中点坐标公式　(x1+x2)/2=3/2； (2)韦达定理　x1+x2=(2p+8)/16。
   可得到　p=8, 即所求抛物线C的方程是 y²=16x [2] 若以PQ为直径的圆过坐标原点O，则OP⊥OQ， 设OP的斜率为k，则OQ的斜率是-1/k。 由 y=kx，y²=16x，可求得 P=(16/k^2,16/k) 由 -ky=x，y²=16x，可求得 Q=(16k^2,-16k) 先求出直线 PQ的斜率 k/(1-k^2)， 进一步求出直线 PQ的方程 (1-k^2)y=k(x-16)。
   可见满足题意的直线 PQ确实经过一个定点，那就是 M=(16,0)。收起