已知,函数,(为自然常数).()求证:;()若且恒成立,则称函数的图象为函数,的...
把两个函数相减构造新函数,求函数的导数,使得导数大于,得到函数的函数的单调区间,求出函数的最小值,最小值等于,得到两个函数之间的大小关系。构造新函数,恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,利用导数求出新函数的单调区间和最值,求出两个函数同时成立时,的值。 解:证明:记,则,令,注意到,可得,所以函数在上单调递减,在上单调递增。 ,即,。由知,对恒成立,当且仅当时等号成立,记,则"恒成立"与"函...全部
把两个函数相减构造新函数,求函数的导数,使得导数大于,得到函数的函数的单调区间,求出函数的最小值,最小值等于,得到两个函数之间的大小关系。构造新函数,恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,利用导数求出新函数的单调区间和最值,求出两个函数同时成立时,的值。
解:证明:记,则,令,注意到,可得,所以函数在上单调递减,在上单调递增。
,即,。由知,对恒成立,当且仅当时等号成立,记,则"恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,即对恒成立,当且仅当时等号成立,所以函数在时取极小值,注意到,由,解得,此时,由知,函数在上单调递减,在上单调递增,即,,综上,两个条件能同时成立,此时,。
本题考查函数的导数在最值中的应用,解题的关键是构造新函数,利用函数恒成立的思想解决问题,注意本题的运算也比较多,不要在这种运算上出错。
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