一个凸n边形的问题将一个凸n边形
将一个凸n边形的边界向内平移距离d=1,得到一个周长为12的新凸n边形。
求证 这两个多边形的面积之差大于15。
证明 分别以新(小)的凸n边形B1B2…Bn的顶点为圆心,1为半径作圆，则原(大)凸n边形A1A2…An的各边A1A2,A2A3…AnA1必分别和圆B1、圆B2；圆B2、圆B3；…圆Bn、圆B1相切。
设切点分别为H1,K2；H2,K3；…Hn,K1。
连结B1H1,B2K2,B2H2,B3K3,…BnHn,B1K1。
凸n边形A1A2…An的面积-凸n边形B1B2…Bn的面积
=[矩形B1H1K2B2面积+矩形B2H2K3B3面积+…+矩形BnHnK1B1面积]
+[...全部
将一个凸n边形的边界向内平移距离d=1,得到一个周长为12的新凸n边形。
求证 这两个多边形的面积之差大于15。
证明 分别以新(小)的凸n边形B1B2…Bn的顶点为圆心,1为半径作圆，则原(大)凸n边形A1A2…An的各边A1A2,A2A3…AnA1必分别和圆B1、圆B2；圆B2、圆B3；…圆Bn、圆B1相切。
设切点分别为H1,K2；H2,K3；…Hn,K1。
连结B1H1,B2K2,B2H2,B3K3,…BnHn,B1K1。
凸n边形A1A2…An的面积-凸n边形B1B2…Bn的面积
=[矩形B1H1K2B2面积+矩形B2H2K3B3面积+…+矩形BnHnK1B1面积]
+[四边形B1K1A1H1面积+四边形B2K2A2H2面积+…+四边形BnKnAnHn面积]
>(B1B2+B2B3+…+BnB1)*1+(扇形B1H1K1面积+扇形B2H2K2面积+…+扇形BnHnKn面积)
=12+(∠H1B1K1+∠H2B2K2+…+∠HnBnKn)/2
=12+[(π-A1)+(π-A2)+…+(π-An)]/2
=12+[nπ-(A1+A2+…An)]/2
=12+[nπ-(n-2)π]/2
=12+π>15。收起
