什么是洛必达法则,用它求极限就是求导吗?
我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限。这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限为"未定式"。利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则。
1。型未定式的极限求法
若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式。
洛必达法则I 若与满足:
(1) ,;
(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;
(3) 存在(或为),
则有
(1)
法则I的证明从略。
注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应。
例1 求下列极限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 该...全部
我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限。这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限为"未定式"。利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则。
1。型未定式的极限求法
若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式。
洛必达法则I 若与满足:
(1) ,;
(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;
(3) 存在(或为),
则有
(1)
法则I的证明从略。
注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应。
例1 求下列极限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 该极限为型,故
。
(2) 由于时,,故此极限为型。因此
。
在利用洛必达法则求极限时,若仍为型未定式,且函数与满足法则I的条件,则可再使用该法则。但在连续应用洛必达法则时,应注意每一步检验是否仍为未定式,不是未定式时不能再用该法则。
例2 求。
解
。
在利用洛必达法则求极限时,还要注意尽量将式子化简以利于求导。
例3 求极限
(1) ; (2) 。
解 (1) 原式
;
(2) 原式。
2。型未定式的极限求法
若当()时,与均趋于,则称相应的极限为型未定式。
洛必达法则II 若与满足:
(1) ,;
(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;
(3) 存在(或为),
则有
。
注 法则II对于()时的型未定式同样适应。
例4 求极限。
解 原式。
例5 设,求。
解 当时,对数函数于幂函数()均为增函数且趋于。原极限为型未定式。
。
由例5可知,当时,对数函数的增长速度比幂函数慢。
例6 设,求。
解 由于,指数函数和幂函数当时均为增函数,且当时均趋于。
故
。
由例6可知,当时,指数函数的增长速度比幂函数快。
在使用洛必达法则求未定式极限时,必须注意一个问题:当不存在时,不一定不存在。
例7 求。
解 此极限为型未定式。若用洛必达法则,则得极限
。
由于为周期函数,上式的极限不存在,也不为。但是
,
即原极限存在。
一般当用洛必达法则求不出未定式的极限时,要想其他办法求极限。
某些极限可以先化为型或型未定式,再用洛必达法则求极限。
3。型和型未定式
例8 求下列极限:
(1) ; (2) 。
解 (1)这是型未定式,将其变形为
则当时视为型未定式,因此
。
(2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限。
。
例9 求极限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 原式。
(2) 原式
=3。
*4。型未定式
例10 求下列极限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 这是型未定式,将其变形为
则当时视为型未定式,因此
。
(2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限。
。
例11 求极限
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) 。
解 (1) 原式
。
注。
(2) 原式=
==1。
(3) 原式=1。
(4) 原式。
。收起
