求f(x)的最小值.
解：
令x=x’+2。
f(x)=max|x^3-ax^2-bx-c|(1≤x≤3)
→f(x’)=max|x’^3-a1x'^2-b1x’-c1|(-1≤x’≤1)
令g(x')=x'^3-a1x'^2-b1x'-c1,x'∈[-1,1],
则4g(1)-4g(-1)=8-8b1,8g(1/2)-8g(-1/2)=2-8b1,
∴24f(x’)≥4|g(1)|+4g(-1)+8|g(1/2)|+8|g(-1/2)|
≥|4g(1)-4g(-1)-8g(1/2)+8g(-1/2)|=6。
因此,f(x')≥1/4
→max|x’^3-a1x’^2-b1x’-c1|≥1/4(-1≤x’≤...全部
解：
令x=x’+2。
f(x)=max|x^3-ax^2-bx-c|(1≤x≤3)
→f(x’)=max|x’^3-a1x'^2-b1x’-c1|(-1≤x’≤1)
令g(x')=x'^3-a1x'^2-b1x'-c1,x'∈[-1,1],
则4g(1)-4g(-1)=8-8b1,8g(1/2)-8g(-1/2)=2-8b1,
∴24f(x’)≥4|g(1)|+4g(-1)+8|g(1/2)|+8|g(-1/2)|
≥|4g(1)-4g(-1)-8g(1/2)+8g(-1/2)|=6。
因此,f(x')≥1/4
→max|x’^3-a1x’^2-b1x’-c1|≥1/4(-1≤x’≤1)。
此时,a1=0,b’=3/4,c1=0
因-1≤x’≤1,故令x’=cosθ,
则|g(x’)|=|(cosθ)^3-3/4*coSθ|≤1/4*|cosθ|≤1/4。
当cosθ=±1时,|g(x’)|＝1/4,
∴f(x’)|min=1/4。
∴f(x)=max|x^3-ax^2-bx-c|(1≤x≤3)
=ma×|(x’+2)^3-a(x'+2)^2-b(x’+2)-c|
=max|x’^3-(a-6)x’^2-(4a+b-12)x’-(4a+2a+c-8)|≥1/4。
当{a’=a-6=0,b’=4a+b-12=3/4,c’=4a+2b+c-8=0}→{a=6,b=-45/4,c=13/2}时,
f(x)|min=1/4。
。
收起
