欧拉定理有没有不是数学归纳法的证
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
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数学归纳法是这样的：
定义----与自然数有关的数学命题，若先证得n取第一个
值n0时命题成立，然后假设当时命题成立，
再证明当n=k+1时命题也成立，则可断言此命题
对n取n0后的一切自然数都成立，这种推理方法
叫数学归纳法。
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与...全部
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
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数学归纳法是这样的：
定义----与自然数有关的数学命题，若先证得n取第一个
值n0时命题成立，然后假设当时命题成立，
再证明当n=k+1时命题也成立，则可断言此命题
对n取n0后的一切自然数都成立，这种推理方法
叫数学归纳法。
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。
因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。
剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以，多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600。 （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2。
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另外，我还找到这样一个资料，卡不太明白。
其实，（面数+顶点数）-棱数 = 2 是简单多面体的普遍规律，叫做多面体的欧拉定理。
这个定理最早是笛卡儿发现的。证明这个定理，常常要用数学归纳法，以及某种拓扑法--把立体图形转化为平面图形，再进行证明。
楼主看一下吧。 祝好运。收起
