求证问题已知16个正数的和100，它们
已知16个正数的和100，它们的平方和为1000。证明这16个数中没有一个大于25。
证 不妨设这16个正数为A1，A2，A3，。。。,A16，先考虑其中一个A1。
则有
A2+A3+。 。。+A16=100-A1
(A2)^2+(A3)^2+。。。+(A16)^2=1000-(A1)^2
据己知不等式:nΣ(ai)^2≥(Σai)^2，得
15[(A2)^2+(A3)^2+。 。。+(A16)^2]≥(A2+A3+。。。+A16)
15[1000-(A1)^2]≥(100-A1)^2
-16(A1)^2+200A1+5000≥0
2(A1)^2-25A1-625≤0
(2A1+25)...全部
已知16个正数的和100，它们的平方和为1000。证明这16个数中没有一个大于25。
证 不妨设这16个正数为A1，A2，A3，。。。,A16，先考虑其中一个A1。
则有
A2+A3+。
。。+A16=100-A1
(A2)^2+(A3)^2+。。。+(A16)^2=1000-(A1)^2
据己知不等式:nΣ(ai)^2≥(Σai)^2，得
15[(A2)^2+(A3)^2+。
。。+(A16)^2]≥(A2+A3+。。。+A16)
15[1000-(A1)^2]≥(100-A1)^2
-16(A1)^2+200A1+5000≥0
2(A1)^2-25A1-625≤0
(2A1+25)*(A1-25)≤0
由于A1>0,所以A1≤25。
同理可证另外15个均不大于25。得证。
。收起
