证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系
证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系。
证明 设n元齐次线性方程组Ax=0,其中R(A)=r,则基础解系所含的向量的个数为n-r,记α1,α2,…,α(n-1)是一个基础解系,并记这个基础解系标准正交化后所得的向量组为:ε1,ε2,…,ε(n-r)。
下面证明:向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
事实上,由施密特正交化过程可知:向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)可由向量组α1,α2,…,α(n-1)线性表示,而α1,α2,…,α(n-1)是基础解系的基解向量,所以作为向量组α1,α2,…,α(n-1)线性组合的向量ε1,ε2,…,ε...全部
证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系。
证明 设n元齐次线性方程组Ax=0,其中R(A)=r,则基础解系所含的向量的个数为n-r,记α1,α2,…,α(n-1)是一个基础解系,并记这个基础解系标准正交化后所得的向量组为:ε1,ε2,…,ε(n-r)。
下面证明:向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
事实上,由施密特正交化过程可知:向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)可由向量组α1,α2,…,α(n-1)线性表示,而α1,α2,…,α(n-1)是基础解系的基解向量,所以作为向量组α1,α2,…,α(n-1)线性组合的向量ε1,ε2,…,ε(n-r)都是齐次线性方程组Ax=0的解,因此ε1,ε2,…,ε(n-r)是齐次线性方程组Ax=0的解空间S中的向量。
又因为ε1,ε2,…,ε(n-r)正交向量组,所以ε1,ε2,…,ε(n-r)必定线性无关。由于α1,α2,…,α(n-1)是基础解系,所以齐次线性方程组Ax=0的解空间S的维数dimS=n-r。
故知向量组ε1,ε2,…,ε(n-r) 是解空间S的一个极大线性无关组。
因此,向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。收起