一道高中数学竞赛题设三角形ABC
设三角形ABC的正等角中心在形内。求证
√3*s>=3R+r
在三角形ABC形内的正等角中心就是三角形的费马点。
想必你肯定了解三角形ABC的正等角中心
证明 设x,y,z为非负实数,P为三角形ABC形内的正等角中心。
令PA=x,PB=y,PC=z,则三角形ABC的三边长:
a=√(y^2+yz+z^2),b=√(z^2+zx+x^2),c=√(x^2+xy+y^2),
易验证:
a^2≤b^2+c^2+bc;
b^2≤c^2+a^2+ca;
c^2≤a^2+b^2+ab。
上述三个不等式只有一个可取等号。
由余弦定理可知:三角形ABC的最大角不超过120度。
故得:
(b^...全部
设三角形ABC的正等角中心在形内。求证
√3*s>=3R+r
在三角形ABC形内的正等角中心就是三角形的费马点。
想必你肯定了解三角形ABC的正等角中心
证明 设x,y,z为非负实数,P为三角形ABC形内的正等角中心。
令PA=x,PB=y,PC=z,则三角形ABC的三边长:
a=√(y^2+yz+z^2),b=√(z^2+zx+x^2),c=√(x^2+xy+y^2),
易验证:
a^2≤b^2+c^2+bc;
b^2≤c^2+a^2+ca;
c^2≤a^2+b^2+ab。
上述三个不等式只有一个可取等号。
由余弦定理可知:三角形ABC的最大角不超过120度。
故得:
(b^2+c^2+bc-a^2)(c^2+a^2+ca-b^2)(a^2+b^2+ab-c^2)≥0 (1)
(1)式展开为
-Σa^6-Σ(b+c)a^5+Σ(b^2+c^2)a^4+2Σ(bc)^3+abcΣ(b+c)a^2-(abc)^2≥0
[2Σ(bc)^2-Σa^4]*(Σa^2+Σbc)+abc[Σa^3-Σ(b+c)a^2-7abc]≥0
16s^2*r^2*(3s^2-4Rr-r^2)+16Rs^2*r^2*(9R+2r)≥0
3s^2≥9R^2+6Rr+r^2
。收起
