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高数证明题

试证:若f(x)在[0,1]上具有连续的一阶导数,且f(1)=f(0)=0,则|∫[0,1]f(x)dx|<=0.25M,其中M=max(0<=x<=1)|f '(x)|

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2013-02-21

0 0
不才孤陋寡闻,不知道除了泰勒公式外还有什么方法。

2013-02-21

0 0
我有一个不用泰勒公式的方法:(只要一次分部积分,再用一下定积分的比较性质即可) ∫[0,1]f(x)dx=(x-1/2)f(x)?[0,1]-∫[0,1](x-1/2)f'(x)dx=∫[0,1](x-1/2)f'(x)dx |∫[0,1]f(x)dx|<=M?∫[0,1]?x-1/2?dx=(1/4)M

2013-02-21

153 0
    设u=x,v=f(x),则根据d(uv)=vdu+udv ∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]d(xf(x))-∫[0,1]xf'(x)dx =[xf(x)]|[0,1]-∫[0,1]xf'(x)dx=∫[0,1]xf'(x)dx 利用积分第一中值定理: |∫[0,1]f(x)dx|=|-∫[0,1]xf'(x)dx| =|f'(x0)||∫[0,1]xdx|=|f'(x0)|/4 (其中x0属于[0,1]) 记M=Max(0<=x<=1)|f'(x0)| 则|∫[0,1]f(x)dx|<=0。
    25M。

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