已知P点是椭圆上一点 A,B为两焦点 那么角APB的平分线是否与P点的切线垂直?...
证明：设椭圆方程：x^2/a^2 y^2/b^2=1则P点(acosθ,bsinθ)过P点的法线斜率k=-dx/dy=-(dx/dθ)/(dy/dθ)=asinθ/(bcosθ)则设过P点的法线方程y-bsinθ=k(x-acosθ)=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)设过P点的法线与长轴相交于A(x,0),所以-bsinθ=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)得x=c^2*cosθ/aA点坐标为(c^2*cosθ/a,0)所以F1A=c^2*cosθ/a cPF1=根号((acosθ c)^2 b^2*(sinθ)^2)=c*cosθ aPF1/F1A=(c*cos...全部
证明：设椭圆方程：x^2/a^2 y^2/b^2=1则P点(acosθ,bsinθ)过P点的法线斜率k=-dx/dy=-(dx/dθ)/(dy/dθ)=asinθ/(bcosθ)则设过P点的法线方程y-bsinθ=k(x-acosθ)=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)设过P点的法线与长轴相交于A(x,0),所以-bsinθ=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)得x=c^2*cosθ/aA点坐标为(c^2*cosθ/a,0)所以F1A=c^2*cosθ/a cPF1=根号((acosθ c)^2 b^2*(sinθ)^2)=c*cosθ aPF1/F1A=(c*cosθ a)/(c^2*cosθ/a c)=a/c设∠F1PF2的平分线交长轴于A',根据角平分线的性质PF1/PF2=F1A'/A'F2得PF1/(PF1 PF2)=F1A'/(F1A' A'F2)PF1/(2a)=F1A'/(2c)PF1/F1A'=a/c综合得：PF1/F1A=PF1/F1A'=a/c所以A与A'重合即椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2（两焦点和P形成的角）的平分线。
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