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求椭圆两互相垂直的两切线交点轨迹

求椭圆两互相垂直的切线交点轨迹

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2010-03-07

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    解:交点为(x0,y0) 椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (1) 切线:y-y0=k(x-x0) (2) 以(2)代入(1)整理,得 (a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(y-kx0)x+a[(y-kx0)^2-b^2]=0 直线与椭圆相切则判别式为0: a^4k^2(y0-kx0)^2-(a^2k^2+b^2)a^2[(y0-kx0)^2-b^2]=0 --->(a^2-x0^2)k^2+2x0y0k+(b^2-y0^2)=0 两切线垂直则k1*k2=-1 故依韦达定理得: (b^2-y0^2)/(a^2-x0^2)=-1 --->x0^2+y0^2=a^2+b^2 这是以椭圆中心为圆心、根(a^2+b^2)为半径的圆。
     。

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