求证:圆x^2+y^2=a^2上任意一点的法线过原点求完整证明过程.
初等数学就是基本概念,高等数学要用到导数概念,反而会很繁。
为了避免(-a,0)、(a,0)点处的尴尬,应该将圆x^2+y^2=a^2的方程改写为参数方程:
x=acost,y=asint。
任意一点(acost,asint)处
切线斜率为k1=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(acost)/(-asint)=-cott,
法线斜率为k2=-1/k1=tant,
法线方程为 y-asint=(k2)*(x-acost)=(tant)*(x-acost),化简得 y*cost=x*sint
可知任意一点(acost,asint)处的法线 y*cost=x*sint 一定过原点。
。
法线是过切点且垂直于切线的直线。 圆的切线都垂直于过切点的半径, 圆切线的法线就是过切线切点的半径所在的直线, 所以圆上任一点的法线必过圆心。 圆x^2+y^2=a^2的圆心是原点, 所以圆x^2+y^2=a^2上任意一点的法线过原点。 我想不必再用解析法证明了。
利用初中数学就行;法线是切线的垂线, 过切点切线的垂线必过圆心。证明完毕。