公式：1^3 2^3 ..... N^3=(1 2 3 ... N)^2是 如何推导出来的？
公式：1^3 2^3 。。。。。 N^3=(1 2 3 。。。 N)^2 是如何推导出来的？ 答：(i)先证：A=1 2 3 … N=N(N 1)/2。 （1） 因为 2A=(1 N) (2 (N-1)) (3 (N-2)) … (N 1)=N(N 1) 所以 A=1 2 3 … N=N(N 1)/2。 (ii)再证：1^2 2^2 3^2 … N^2=N(N 1)(2N 1)/6 （2） 利用立方差公式，得 N^3-(N-1)^3=1*[N^2 (N-1)^2 N(N-1)] =N^2 (N-1)^2 N^2-N =2*N^2 (N-1)^2-N 于是，有 2^3-1^3...全部
公式：1^3 2^3 。。。。。 N^3=(1 2 3 。。。 N)^2 是如何推导出来的？ 答：(i)先证：A=1 2 3 … N=N(N 1)/2。 （1） 因为 2A=(1 N) (2 (N-1)) (3 (N-2)) … (N 1)=N(N 1) 所以 A=1 2 3 … N=N(N 1)/2。
(ii)再证：1^2 2^2 3^2 … N^2=N(N 1)(2N 1)/6 （2） 利用立方差公式，得 N^3-(N-1)^3=1*[N^2 (N-1)^2 N(N-1)] =N^2 (N-1)^2 N^2-N =2*N^2 (N-1)^2-N 于是，有 2^3-1^3=2*2^2 1^2-2 3^3-2^3=2*3^2 2^2-3 4^3-3^3=2*4^2 3^2-4 。
。。。。。 N^3-(N-1)^3=2*N^2 (N-1)^2-N 上述等式叠加，得 N^3-1^3=2*(2^2 3^2 。。。 N^2) [1^2 2^2 。。。 (N-1)^2]-(2 3 4 。
。。 N) =2*(1^2 2^2 3^2 。。。 N^2)-2 [1^2 2^2 。。。 (N-1)^2 N^2]-N^2-(2 3 4 。。。 N) =3*(1^2 2^2 3^2 。。。
N^2)-2-N^2-(1 2 3 。。。 N) 1 =3(1^2 2^2 。。。 N^2)-1-N^2-N(N 1)/2 于是 3(1^2 2^2 。。。 N^2) =N^3 N^2 N(N 1)/2 =N(N 1)(N 1/2) =N(N 1)(2N 1)/2 所以 1^2 2^2 3^2 。
。。 N^2=N(N 1)(2N 1)/6。 (iii)最后证：1^3 2^3 3^3 …… N^3=[N(N 1)/2]^2 （3） (N 1)^4-N^4=[(N 1)^2 N^2][(N 1)^2-N^2] =(2N^2 2N 1)(2N 1) =4N^3 6N^2 4N 1 2^4-1^4=4*1^3 6*1^2 4*1 1 3^4-2^4=4*2^3 6*2^2 4*2 1 4^4-3^4=4*3^3 6*3^2 4*3 1 。
。。。。。 (N 1)^4-N^4=4*N^3 6*N^2 4*N 1 上面诸式叠加，得 (N 1)^4-1=4*(1^3 2^3 3^3。。。 N^3) 6*(1^2 2^2 。。。 N^2) 4*(1 2 3 。
。。 N) N 4*(1^3 2^3 3^3 。。。 N^3)=(N 1)^4-1 6*[N(N 1)(2N 1)/6] 4*[(1 N)N/2] N =[N(N 1)]^2 所以 1^3 2^3 。
。。 N^3=[N(N 1)/2]^2 由(1),(3)即得 1^3 2^3 。。。。。 N^3=(1 2 3 。。。 N)^2。收起
