这个公式如何推导?
解:不用双曲换元,用三角换元。
设x=asect,则dx=asecttantdt,tant=√(x²-a²)/a
原式化为
∫asecttantdt/atant
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C1
=ln|(x/a)+√(x²-a²)/a|+C1
=ln|x+√(x²-a²)|+C,其中C=C1-lna
∫x²dx/√(x²-a²)
=∫[(x²-a²)+a²]dx/√(x²-a²)
=∫√(x²-a²)dx+...全部
解:不用双曲换元,用三角换元。
设x=asect,则dx=asecttantdt,tant=√(x²-a²)/a
原式化为
∫asecttantdt/atant
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C1
=ln|(x/a)+√(x²-a²)/a|+C1
=ln|x+√(x²-a²)|+C,其中C=C1-lna
∫x²dx/√(x²-a²)
=∫[(x²-a²)+a²]dx/√(x²-a²)
=∫√(x²-a²)dx+a²∫dx/√(x²-a²)(前一积分,分部积分)
=x√(x²-a²)-∫xd√(x²-a²)+a²∫dx/√(x²-a²)
=x√(x²-a²)-∫x²dx/√(x²-a²)+a²∫dx/√(x²-a²)
故∫x²dx/√(x²-a²)
=x√(x²-a²)/2+(a²/2)∫dx/√(x²-a²)
=x√(x²-a²)/2+(a²/2)ln|x+√(x²-a²)|+C。收起